66 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



-L r§ r& Cos 2* + p^r r« r® Cosåt+... 



= 2Hs" ^S f£? {gt rg? JT& Cos 2* + ^r n? nt- Cos 4f + . . .} 



hvilken genom ett, i det föregående ofta upprepadt förfarande leder till den första af 

 eqvationerna (71). Pä analogt sätt finner man äfven riktigheten af den andra. 



§ U. 



Den utveckling för koefficienten *?J , hvilken vi funnit i formeln (39), är icke den 

 enda, som kan uppställas; genom att i eqvationerna (13) substituera andra utvecklingar 

 för Cotg n,un än den, på hvilken formeln (39) blifvit grundad, kan man tvertom erhålla 

 flere andra och olika uttryck för de ifrågavarande koefficienterna. Alla dessa uttryck 

 hafva dock den gemensamma egenskapen att bestå af serier, der termerna utgöras af 

 E'(v)- eller F'(i>, p)-funktioner, för hvilkas numeriska beräkning i de nästföregående 

 paragraferna tjenliga uttryck blifvit härledda. Användningen af de olika uttrycken för 

 Cotang n,un är alldeles densamma som i § 9, men man ernår dervid uttryck, hvilka 

 ofta äro att föredraga framför formeln (39). Af denna orsak skola vi här anföra den 

 allmänna typen för desamma, för hvilket ändamål vi i den sednare af eqvationerna 

 (13) införa utvecklingen 



C tangn J «^i{l-6rX2n^ + C(2n,«r-...±C(2^r}{5 +.$^+^% + . . •} 



Såväl b- som X-koefficienterna kunna ganska lätt erhållas, såsom blifvit framhållet 

 i afhandlingen »Om summation af periodiska funktioner». De förra finner man såsom 

 utvecklingskoefficienter af produkten 



(l-£)(l-i)....(l-^- 2 ); 



de sednare åter ur formeln 



Y m (— iyi 2 .3 2 ...(2ft-l) 2 



A » ~ [{2nf - l 2 ] [(2,*) 2 - 3=] ... . [(2m) 2 - (2A - 1) 2 ] 



Utföres nu ifrågavarande substitution, så erhålles under iakttagande af de i § 9 in- 

 förda beteckningarna: 



(72) <£<° = - ti £ {E'(— 1) — &;? ,u 2 E'(0) -t 6* ^ E\\) — . . . ± bT fi 2h E (h — 1)} 



+ 1 tia X? {F\0, 1) - b[ h ' ,u 2 Fi(l, 1) + C ^ F'(2, 1) — ... ± b? ,u 2 " F'(h, 1)} 



+ -J UfJi X? {F'(0, 2) — C ,u' 2 F\\, 2) + 61" fi* F'(2, 2) — ... ± 6™ /* n . F'(h, 2)} 



+ 



Detta uttryck erhåller en för numeriska räkningar vida fördelaktigare form genom 

 reduktion af de i detsamma förekommande ^'-funktionerna till andra dylika funktioner, 

 dervid y-index öfverallt har värdet eller värdet — A. Denna reduktion sker antingen 

 med stöd af formeln (64) eller (66). Vid användningen af den sistnämnda reduktions- 

 formeln införa vi beteckningarna 



