KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 67 



k, = 2<; 2 + 2^ 2 vr cl + 2,u 4 c m + ... + %»-" w nz,, 



k 2 = 2vt + 2," 2 K" *?",.. + 2,« 4 6 f w tf! 4 ;' 2 + . . . + 2,u 2 " il"' CL. 4 

 o. s. v. 

 dervid är att bemärkas, det 



men att de öfriga ?/ n "-koefficienterna försvinna. 



Härefter erhålles för ^.''-koefficienten följande uttryck: 



(73) <#;' = — 4i^- {E'{— 1) — b[' n u 2 F'(0) + b? ,« 4 E'{\) — . . . ± il'" ,u 2 " ä;(ä — 1)} 



+ | 4,u Xi H fo i? 1 ,', „ (0, 1) + 2k 2 F[, , (0, 1) + Sk s ^ , (0, 1) + . . .} 



+ 4 4,u XT & ^ , (0, 2) + 2£ 2 i^, r (0, 2) + 3k 3 F' h , (0, 2) + . . .} 



+ 4 4,« X"" [k, F\, , (0, 3) + 2k 2 F\, , (0, 3) + 3k 3 F z , , (0, 3) + . . .} 



+ 



Vill man åter utföra reduktion till ^'-funktioner med index v = — \, så böra 

 följande beteckningar användas 



* = 2 ^ hi, 4 + ^ k c + ," 4 v? c, 4 + . . . + ,« 2 " c c,j 



o. s. v. 

 Man finner nu 



(74) $? = - U^ {E'(- 1) - K" p £'(0) + 6™ « 4 ^'(1) - • • • ± t ,u 2 " F'(h - 1)} 



+ f 4« xr {</, 2*1; , (- *, i) + 2? 2 ^; f (_ i, i) + 3^ F- , (- 1,1) + ...} 



+ 4 4» xr fe i' 1 ;. , (- j, 2) + 2. /2 ^ (- i 2) + z 9s f:, , (- *, 2) + . • •} 



+ 



Dessa uttryck synas vara bland de lämpligaste, som kunna uppställas för de 

 ifrågavarande koefficienternas numeriska beräkning. Serierna inom hvarje parenthes äro 

 äfven vid mycket stora värden för de elliptiska funktionernas modyl åtminstone ej 

 svagt konvergerande åt båda sidor om den största termen, eller de största termerna, 

 hvilka ligga i granskapet af k t i\ 4 > (o, p) eller g t F iy v ( — \,p). Den härvid erforderliga 

 beräkningen af funktionerna F' s ,?(o,p) eller F s , ? ( — ?,p) låter temligen lätt utföra sig 

 med stöd af formlerna (41) — (46). 



§ 15. 

 I stället för att särskildt söka hvar och en af utvecklingskoefficienterna S 5 ,' 1 kan 

 man omedelbart härleda hela funktionen «£ (0 . De operationer, som vid en sådan här- 

 ledning kunna komma i fråga, äro till en del motsvarande dem, hvilka i det föregående 



