68 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



blifvit använda, men till en annan del från dessa helt och hållet afvikande. Såsom en 

 gemensam utgångspunkt för de härvid uppträdande utvecklingsmetoderna skola vi an- 

 vända den form för den ifrågavarande funktionen, som erhålles då de ändliga summorna 

 (11) uttryckas medelst konvergenta följder af qvadraturer, en form hvilken vinnes med 

 stöd af ett i afhandlingen »Om summation af periodiska funktioner» bevisadt theorem. 

 Ifrågavarande theorem är följande: 

 Låt eqvationen 



u = (f(flt) 



uttrycka en allmän relation emellan u och t, ur hvilken, i det t successivt erhåller 

 värdet af talen 0, n, 2tt, o. s. v. följande speciella värden för u härflyta: 



H = sp(o) 



Ux = (p(jin) 

 u 2 = 5p(2^ti) 



låt vidare z s beteckna den ändliga summan 



I /K) +/K) +/(m 2 ) + . . . +/(u.-0 + \f(u.) 



der f(u) betecknar en periodisk funktion af t; då är 



S7l 



(75) z s = ±j{f(u) + bf &® + , . + 6?» d -^}{Xf + 2Xf Cos 2t + 2Xf Cos At + . . .}dt, 



o 



i hvilken formel koefficienterna b" l) och X <Ä) hafva samma betydelse som i föregående 

 paragraf. 



Vid tillämpningen af denna formel på föreliggande problem har man att sätta 



H+,ut 



/ d>r 



J V 1 — k 2 Sin <p 2 



samt 



f(u) = Cos 2» 



. n 



2 K 



II 



eller 



f(u) = Sin2i^M 



Vi välja den sednare formen och sätta till afkortning 



2K U *> 



då följande uttryck med lätthet erhålles 



/•/ \ i Ch\ <l 2 fM c- <r» • iiil o rf 2 Sin 2ix , wiii 2* d-* Sin 2w 



f{u) + b™ -i/+...=Sm 2ix + b[ h) fi- 2^ f .,. + &?>/*? r-tf-SS 



I dam — x I I dam X I 



