70 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



Ett fortsatt begagnande af denna formel leder till nedanstående uttryck 

 K = ~ {!<" [Cos 25 — Cos 2(5 + fisn)] + J of [Cos 45 - Cos 4(5 + (tsn)] + . .} 



+ ^ (I) 2 {i <"' [Cos 25 - Cos 2(5 + usn)} + J <" [Cos 45 - Cos 4(5 + fisn)] + . .} 



+ 



+ ^ (W 'p=^ °T [ Cos 25 — Cos 2(5 + /Ww)] + jjz-, of [Cos 45— Cos4(5+u S 7r) |+ ..} 



S71 



+ \ (jf'j{fi <" Sin 2 (# + -"0 + i °T Sin 4(5 + ,«i) + . . .} Cos fyf . A, 



o 



der v betecknar ett helt positivt tal. 



Serierna i detta uttryck, hvilka blifvit befriade från integraltecknet, kunna serdeles 

 lätt ordnas efter argumentet x, hvarigenom deras konvergens blifver vida större. För 

 sådant ändamål behöfver man endast substituera de bekanta utvecklingarna för 



Cos 25 — Cos 2amu Q = Cosai7i — x ; Cos 2(H + fisn) = Cos 2amu s = Cos 2a???. — x s , 



Cos 45 = Cos 4amu Q = Cos am — x ; Cos 4(5 + /usn) = Cos 4amu s = Cos 4a??i — x s , 



o. s. v. o. s. v. 



Begagnar man sig dertill af beteckningarne 



M /_ 1 y , fl r C"-> j-W J_ r <A) pM _1_ jp(6) jp(«) , I 



M /_ iy 4r (J_ ^<=> ^> + JL ^(4)^(4) Af»» f<»'+ l 



V(W-I),2 V X / *' \2 21 ' 2-2 ^ 4" 2r X 2 + 6 2 " 2r X 2 T . . .j 



„{o / i\v a ,, ! 1 r<-> r (! > 1 1 r (4 > r<4> , 1 r^ 6 ' r (6 > ■ \ 



Vr-w « = (—!) 4 ' ||« '- r 4 + |5? r » r 4 + g2T r , r * 4 + • • •[ 



O. s. v. 

 samt 



(79) #? (x s ) = — a -J=t of Cos 2(5 + .usn) - ^ of Cos 4(5 + ,«sti) — . . ., 

 så blifver 



(80) JV? (as.) = C-»,o + 2»C-», 2 Cos 2« s + 2C_,, 4 Cos 4x s + ... 

 Dessutom sätta vi 



(81) TT:l (*.) = fe C Sin 2(5 + ,«0 + 5! of> Sin 4(5 + (it) + . . .} Cos 2p* . A, 







och erhålla då 



(82) ^ = i [K («.) - NT (x )} + ± (|) 8 {NT (*.) - JC K)) 



