KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. I. N:0 9. 71 



Framför allt skola vi härleda funktionen U[',' p (x 3 ) under formen af en efter argu- 

 mentet x fortgående trigon ometrisk serie. För sådant ändamål utföra vi den beteck- 

 nade integrationen, hvarigenom vi erhålla 



(83) tf;:; p (^=A ff ->^^ [Cos2 (# +i ^^ 



Detta uttryck leder omedelbart till den åsyftade formen, då man inför ut- 

 vecklingarne efter argumenten x s och x i stället för Cos 2(H + fxsn) o. s. v.; man finner 

 sålunda, i det ett redan i det föregående användt beteckningssätt begagnas, 



(84) U':l, (O = 8,ur F' r , , (— v, p) [Cos 2x s — Cos 2x ] 



+ 8/tr F\ , ( — v, p) [Cos Ax s — Cos Ax ] 



+ 



I det föregående hafva vi redan vunnit dessa resultat, ehuru under en något 

 annan form; vi skola nu utföra en väsentlig förenkling af desamma, hvartill de nu 

 framlagda uttrycken synas mest egnade. Härtill erfordras att funktionen U(x s ) uttryckes 

 under formen af en bestämd integral, der integrationsintervallen ej får öfverskrida talet n. 

 Det är dock ganska lätt att härleda denna form, ty densamma erhålles omedelbart med 

 stöd af relationen 



(2p) 2 — (2m/<) 2 



man finner sålunda ur eqv. (83) 



—q ICos 2mut Cos 2pt dt; 



(85) Ui, (x.) = — Jr. <" [Cos 2{H + fisn) — Cos AH ] —^ fcos 2,ut Cos 2pt 



o 

 n 



- 4I <" [Cos A(H + ju s n) — Cos AH ] si^TCos Aftt Cos 2pt 



dt 



§ 17. 

 De transformationer, som vi i slutet af föregående paragraf åsyftat, bestå i sura- 

 mation af vissa termer i uttrycket för H r . I enlighet med eqvationerna (76) och (78) 

 hafva vi 



H r = XfWf + 2XfWf + 2XfW i ; ) + ... 



Då nu de olika delarne af TF-funktionerna införas i detta uttryck uppstå olika 

 delar af H n hvilka vi skola beteckna antingen med H?, Hf, . . . H ( J } och H ( r % H["\, o. 

 s. v., allteftersom desamma uppkomma af funktionerna N[ r \ N[ r \ . . . N^ eller af de 

 olika termerna i uttrycket (84). Vi hafva således 



H r = n;' + ht ..a hi" 



+ h:\ + h:: . . . 



