KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 73 



71 



(88) <p n = - -^ ^- ± Jcos 2nut {2 . 2 2 Xf Cos 2* + 2 . 4 2 Cos It + . . .} dt 



o 



I detta uttryck skola vi införa det of van angifna ändliga värdet för serien under 

 integraltecknet, men dessförinnan angifva detta värde under en annan, här mera lämplig 

 form. Det är nämnligen (pag. 13 af den anförda afhandlingen) 



Hr^S^i Sin fhU = <~ l} Sin t — 3<-') Sin 3t + . \ '. ± (2Ä — 1) «Ö Sin (2A — 1) t, 

 hvaraf omedelbart följer 



På grund deraf att likhet måste äga rum emellan de båda utvecklingarne för 



d" Sin *äÄ-l 



— ^äi=j — , rinna vi nu 



71 



9>« = ~ WnW siÅj^j Cos 2n,«< {1 2 " +I <""Sin t- 3 3 " +1 <' _1) Sin 3*4 , .±(2Ä - 1 ) 2 " +1 <zi , Sin(2/ i -l)*} ( ii 



o 



Vid fortsatta delvisa integrationer försvinna alla från integraltecknet befriade 

 termer på lätt insedda grunder, och man erhåller följande resultat 



n 



<f n - — shi— fCos 2nfit {a\ h ~v Sin t — 3<<" l) Sin 3* + . . . ± (2A — 1) Ö Sin (2A — 1) *} ef* 







^Otg lnf*n + S i n 2 BUS ni2_ ( 2 MU )2 3 2 -(2>u/) 2 + • * * ±: (2ft-l) 2 .-(2n,u) 2 j 



Nu är emellertid (»Summation af per. funkt.» pag. 11) 



l 3 KS* -1 ' 3 2 ni»- 1 ' (2A — l) 2 «ä=V _• 1 



l 2 — (2»,u) 2 3 2 — (2»») 2 ' ' ' (2A-DM2».") 2 



och dessutom 



Ootang 2w.M7i + ^r-~ — = Cotg; n,un; 



o ' SniZ»u7r O ' ' 



vi erhålla derföre slutligen 

 (89) tp n = 



Cotg nfjn 



Detta resultat innebär tillika följande anmärkningsvärda likhet 



2( 2. 2"' X[ h) 2.4 2 '' Jt 2 *> 1 (2reo) 2 '— ' Cotg nu rt 



~i \2 2 - (2«,«) 2 + 4 2 - @ n ,uT- + • • •/ = [i / 2 ""nri ( 2m "fi [i / 2nfj v] 



— n \zn,uj ^ (2nu)2 1- 22 _ (2nu)2 . 4 2_ (2wl()2 "I" • • •(, 



hvilken- naturligtvis endast gäller för de händelser då h > v och v > 0. 



På grund af den bestämning, vi erhållit för funktionerna H l "'„, inses äfven riktig- 

 heten af följande resultat 



K. Vet. Akad. Handl. B. 11. N:o 9. 10 



