76 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



Sådant är' äfven förhållandet med de från integrationstecknet befriade delarne af T(x s ). 

 Den sista termen af denna funktion kan deremot icke omedelbart reduceras till en sådan 

 serie, utan densamma måste för detta ändamål underkastas operationer liknande dem, 

 hvilka användas vid reduktionen af funktionerna H r . Härvid skola vi, för att vinna 

 någon öfverensstämmelse med de i det föregående använda beteckningarne, sätta 



d 2 " Sin 2ix 2 , nA d 2 " +2 Sin 2ix \ . 2Ä , (h) ri"'+-* Sin %x 



^ V > " il -2K Uv + , U 0, / 2 A" \-tr + . + ■ ■ • + , u O h 



%k v-o T ■ * i , 2a: V"'-"* ' ' ■ ' h l , 2a: \s»-t* 



— £ I dnm iB I I (lam — x I 



= ife|' " Sin 2& + Ä* '' Sin 4ar + . . . 



571 



jr= | /Sin 2r x {± X[ h) Cos 2t + pj Xf» Cos 4* + . . .} tft 



o 



För koefficienteima k" r " finner man dervid med lätthet följande uttryck 



(93) k- = (- D" ,« 2 " {2C. * + 2,u 2 &<» C_ 2 , „ + ..-. + fy*» &<? » C._ 5 , »} 

 Den sista termen af uttrycket för 2 7 (# s ) erhåller sålunda följande form 



¥; v Jf + *J " JV + $ " J 3 V) + ... 



Funktionen J™ sönderfaller i en följd af termer, hvilka, så när som på kon- 

 stanta faktorer, äro identiska med de genom eqv. (78) definierade JF^-funktionerna ; 

 man har nämnligen 



(94) JT = 2{± Z« W\* + ^ Z?> W? + g^ ^ w< : } + ■ ■ ■} 



Insättas nu här de uttryck för funktionerna W~*\ som erhållas då man i likheten 

 (82) i stället för p inför de hela talen 1, 2, o. s. v., så finner man 



( 95) jr = ^ c r i > {nf (*.) - ^r M) + H^ <ö {^ r) (*.) - jv. w K)} + . . . 



-^{iV;;)(^)-iYr(*o)} 



+ -^ pr» cc fo) + xf tr; 2 ( ÄJ ) + xf u« s (x s ) + . . .} 



Denna formel, ehuru under den anförda formen redan ganska användbar, kan 

 likväl med fördel underkastas en transformation, beroende på summationer af samma 

 slag, som användes i föregående §; h vilken transformation dock berör endast den sista 

 termen af ofvanstående uttryck. För detta ändamål införa vi i stället för funktionerna 

 U**, deras värden i enlighet med likheten (85) och erhålles då för ifrågavarande term, 

 hvilken vi beteckna med S(x s ) — S(x ), 



n 



(96) S{xs) = — j- n j^i. a^Cba2(H+/i87t)^^fCoa 2/ut {2X™ Cos 2t + 2X^Gos ét+...}dt 



n 



~h^i °< r> Cos 4 (# + ^) si )' Cos 4 < ut { 2X< ? Cos 2t + 2X< ? Cos 4t+ ■ ■ - } dt 



