80 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



betraktad från en något allmännare synpunkt än som erfordrades för härledningen af 

 funktionen W' p r) . Vi betrakta således denna funktion såsom ett specielt resultat af de 

 operationer, hvilka antydas i något af uttrycken 



A = jCos 2ix Cos 2mt. dt 



t/ 



och 



B = I Sin 2ix Cos 2mt . dt, 

 der relationen emellan x och t nr gifven medelst den allmänna eqvationen 



Vi förutsätta nu, i det med M och N betecknas tvenne funktioner af x, att A 

 kan reduceras till formen 



A = M Cos 2mt + N Sin 2mt 

 Denna likhet leder, efter differentiation i afseende på t, samt under iakttagande af att 



-fo = Cos 2ix Cos 2mt 

 till följande: 



Cos 2ix Cos 2mt = ~ Cos 2mt + % Sin 2mt}f'(t) — 2m [M Sin 2mt — N Cos 2mt) 

 hvilken åter sönderfaller i tvenne, nämnligen 



(98) 



dil 



Cos2ix= a -£f'(t) + 2mN 



dN 



I stället för detta eqvationssystem kan man lätt uppställa en enda lineär diffe- 

 rentialeqvation af andra ordningen, genom hvars integration man finner endera af funk- 

 tionerna M eller N; den andra framgår derefter omedelbart och utan någon vidare 

 integration. För detta ändamål differentiera vi den första af eqvationerna (98) och 

 erhålla 



- 21 Sin 2ixf'(t) = S (mr + g f"(t) + 2m d £f"(t) ; 



eller om termen. 2m^ f'(x) elimineras med stöd af den andra af nämnde eqvationer, 



(99) ' - 2i Sin 2ixf(t) = % (./'(O) 2 + ~f{t) + åm*M 

 På samma sätt erhålles, i det man sätter 



B = P Cos 2mt + Q Sm 2mt 



Sin 2ix = ^f\t) + 2mQ 



= f,m-2mP 

 hvilka eqvationer åter leda till denna 



(100) 2i Cos 2ixf(t) = g(/W + f /"(O + 4m 2 P 



