KONGL. SV. VKT. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 



n:0 9. 



81 



Visserligen kan hvarken denna eqvation eller den föregående (99) i allmänhet 

 omedelbart integreras, men så ofta f'(t) är gifven medelst en serie af formen 



f'(t) = x + x x Cos 2x + * 2 Cos Ax + . . ., 



kan man äfven härleda uttryck för funktionerna M eller P under formen af periodiska 

 serier, hvilka utgöra integral till eqv. (99) eller (100). Uppställer man t. ex. denna 

 eqvation 



P = Yi Cos 2ix + y i+l Cos {2i + 2) x + y i+2 Cos {2i + 4) x + . . . 



+ Yi-\ Cos {2i - 2) x + Yi-i Cos {2i- 4) x + . . ., 



så blifver den nämnda integrationen af eqv. (100) verkstäld i och med bestämningen af 

 koefficienterna y t , y,_i, y i+ i o. s. v. För att utföra denna bestämning sätta vi: 



(/'(O) 2 = Å + Å 1 Cos 2x + Å 2 Cos 4x + ... 

 f"{t) — — r\ x Sin 2x — % Sin Ax — . . ., 



samt införa dessa värden såväl som uttrycket för P i eqv. (100), hvilken då erhåller 



nedanstående form 



2i Cos 2ix {* + x x Cos 2x + x 2 Cos 4 c + .;.} = 



\{2iY y Cos 2ix + {2i + 2) 2 y i+1 Cos (2i + 2).x + . . .1 

 — J ■ {/„ + /, Cos 2x + i, Cos Ax + . . .} 



1 +(2f-2)V M Cos(2*-2) / « + 



f(20 y, Sin 2ia> + (2t + 2) y l+1 Sin (2* + 2) a + . . 

 i + {2i - 2) y,_ t Sin (2» - 2) x + . . \ 



[y, Cos 2£c + y l+1 Cos (2i + 2) x + y l+5 Cos (2t + 4) x + . . .1 



| + /,_, Cos (2t - 2) a; + Y,-, Cos (2* - 4) x + . . .] 



Denna likhet innebär bestämningen af koefficienterna y,, y i+t , o. s. v.; genom att 

 sätta koefficienten för hvarje Cosinus lika med noll, erhålles nämnligen följande re- 

 sultat 



2u = C y + C + . r* + C +2 y, + , + . . • 

 + Al!*-, /,_, + C-, r« + • . . 



+ C 1 r. + C?. >',-, + . . . 



+ IC!L y t -, + CL y M + • • •■ 

 i* 2 = K r, + , + C; y +3 + 'C ^ 

 + C: r, + , + AT 



o. s. v. 



K. Vet. Akad. Handl. B. 11. N:u 9. 



+ 



+ 4m 2 



{t] 1 Sin 2x + % Sin 4« + . . .} 



(101) 



%K. 



lX t 





11 



