84 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



y i+4 och Yi-i o. s. v. Då inan nu på denna väg kommit till tvenne relationer emellan 

 y i+n , Yi-n, Yi-tn-ri och Yi-n-i, der n betecknar ett tal, nog stort att y i+nr i och Yi-n-\ multi- 

 plicerade med sina koefficienter, som äro af första ordningen, kunna anses omärkliga, 

 så har man omedelbart värden för Yi+n ocn Yi-n, hvarefter de föregående /-koefficien- 

 terna erhållas genom rekursion. . / 



De genom detta eliminationsförfarande funna koefficienterna äro naturligtvis en- 

 dast tillnärmelsevis riktiga, hvarföre man genom upprepade tillnärmelser måste söka 

 noggrannare värden för desamma. I och för detta ändamål har man att i alla de termer 

 af eqvationssystemet (101), hvilka vid den första bestämningen af de obekanta Yi e tc. 

 blifvit lemnade utan afseende, insätta de tillnärmelsevis funna värdena för dessa koeffi- 

 cienter. Härigenom erhålles en följd af likheter, fullkomligt analoga med dem, genom 

 hvilkas upplösning den första bestämningen af de obekanta framgick; den enda skilnaden 

 som här visar sig, består deruti, att de konstanta termerna hafva något förändrade 

 värden. Man erhåller således den förnyade bestämningen af de sökta koefficienterna 

 genom ett förfarande, som i allo liknar det ofvan beskrifna, och genom att upprepade 

 gånger förnya detsamma, kan inan erhålla ifrågavarande koefficienters numeriska värden 

 med all den noggrannhet, som åstundas. 



Vid utförandet af ofvan antydda räkningar, kan man med fördel begagna sig af 

 följande förfarande. Den allmänna formen för de, genom de successiva substitutionerna 

 framgångna relationer emellan trenne, till olika indices hörande /-koefficienter, kan lätt 

 bringas till följande 



1 "i + n Yi+n ' Oi + n + \ / i+n+l ' Ci—n — l Yi—n—l 



eller 



J- di— n } i—n "*" Ui — n—1 Yi—n—l ' C; + m + i Yi+n+1 



der a, b och c äro till sina numeriska värden bekanta. Af dessa koefficienter är likväl 

 den tredje af en vida högre storleksgrad än de öfriga, hvarföre de sednaste termerna i 

 de anförda uttrycken antingen helt och hållet kunna bortlemnas eller ock betraktas 

 såsom bekanta, sedan approximativa värden för Yi-n-\ och Yi+n+i finnas att tillgå. I detta 

 fall erhåller man genom att dividera de ifrågavarande uttrycken med 1 — c,-_„_i Yi-n-i 

 eller med 1 — c i+nn Yi+n+i den form, som i den förra händelsen, då de yttersta termerna 

 blifvit bortleinnade, omedelbart hade framgått, nämnligen 



J- ^i + n Yi+n ~*~ Ui+n + 1 / i + n+l 



eller 



■I U>i— n / i— n "T Oi—n — l Yi—n — l 



Betrakta vi den första af dessa likheter och sätta n + 1 i st. för n, så hafva vi 



t (U+n+1 Y i+n+l + Uir7i+2 Y i+n+2 



hvarefter erhålles 



O == Ui+n Yi+n """ \Q i+n+l "i+n+l) Yi+n+1 ~^ Ui+n+2 Yi+n+2i 



hvilken likhet antager följande form 



1 = Pit-n+1 (1 + &i+n+2 pi+n t-2jj 



om man infört beteckningarna 



