86 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFEKENTIALFORMLEE. 



A = y jSin (%ix + 2mt + Y ) dt + ~ I Sin ( lix — 2mt + ~) dt 



B = Y JSin (2ix - 2mt) dt + \ J Sin (2ix — 2mi) dt 



I och för utvecklingen af funktionen- 6 förutsätta vi att densamma kan uttryckas 

 under följande form 



6 = X m Sin (2m* + F) + T m Cos (2m* + F) 



Med stöd af de sednast anförda uttrycken för A och B finner man nu, då tillika den 

 för dessa funktioner i det föregående använda formen iakttages, - 



J-\ — Y \ -* "' ~ -*• —m) 



F Y \J- m < ■* — m) 



Q — Y (-^™ ~~ X-m) 



Genom differentiation af det föregående uttrycket för 6 finner man, under iakt- 

 tagande af denna funktions ursprungliga betydelse: 



Cos 2%x Sin (2m* + F) + Sin 2ix Cos (2m* + F) 



=. {^f Sin (2m* + F) + ^ Cos (2m* + F))f(t) 



+ 2m {X m Cos (2m* + F) — Y m Sin (2m* + F)}, 

 en likhet som gifver upphof till de tvenne följande 



Cos 2ix == ^f/'(*) - 2m Y m 

 (103) 



Sin 2ix = -jf /'(*) + 2m X m 



dx 



I stället för detta system kan man uppställa ett annat, hvars användning är för- 

 delaktigare i de händelser då utvecklingen af jtt^ är mera konvergent än den af f{t). 



För härledningen af detta nya system har man först att transformera uttrycket för 

 medelst delvis integration. Man finner sålunda 



6 = — ~ Cos {2ix + 2mt + F) - - & 

 der 



& = JSin (2ix + 2mt + F) dx 



Sättes 



& = X, Sin (2mt + F) + 1\< Cos (2m* + F), 



så erhålles på samma sätt som ofvan: 



