(104) 



KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. NIO 9. 87 



Cos 2ix = '-— - 2m -^ Y m 

 Sin 2ix = ~+ 2m ■— X m 



Såväl eqvationssystemet (103) som (104) skulle kunna ersättas medelst en enda 

 lineär differential eqvation af andra ordningen; af någon egentlig fördel blifver en sådan 

 reduktion dock ej här, emedan en viss egenskap hos funktionerna X m och Y m eller 

 X m och Y' m möjliggör deras bestämning ur en enda af de ifrågavarande eqvationerna. 

 Denna egenskap består deruti, att så snart den ena af ifrågavarande funktioner, t. ex. 

 X m är känd under formen 



X m = cc { Sin 2ix + a in Sin (2i + 2) x + . . . 



+ ct^iSin (2i- 2) x + . . . 



der koefficienterna ej afbrytas med « utan fortsättas för negativa indices, så finner man 

 den andra Y m omedelbart efter ändring af tecknen, genom att förvandla hvarje Sinus 

 till Cosinus; det är således 



— Y m = (ti Cos 2ix + cc i+1 Cos (2z + 2) x + . . . 



+ «*_i Cos (2i - 2) x + . . . 



Dessa liktidigt gällande uttryck för X m och Y m äro partikulera integral till eqva- 

 tionssystemet (103); på samma sätt äro äfven 



X m = Ä Sin 2ix + Ä +1 Sin (2» + 2) x + . . . 



+ /?;_! Sin (2t -2)x + ... 

 och 



— Y' m = (^ Cos 2ix + fi t+1 Cos (2i + 2) x + . . . 



+ Ä_! Cos (2i - 2) a? + . . . 

 partikulära integral till systemet (104). 



Riktigheten af det framstälda sammanhanget emellan X,„ och Y m samt emellan 

 X m och Y„, inses omedelbart, då man medelst methoden för de obestämda koefficien- 

 terna söker att bestämma «, : , o. s. v. Insätter man för sådant ändamål 



f'(t) = x + *! Cos 2x + x 2 Cos åx + . . . 

 i den första af. eqvationerna (103), så framgår följande relation 



(2icc t Cos 2ix + (2t + 2) a i+1 Cos (2» + 2) x + . . A 

 Cos 2ia; = \ K + ^i Cos 2x + . . .} 



I + (2i - 2) Ui_ y Cos (2z 2)x+ .. .) 



[«; Cos 2«a; + « i+l Cos (2i + 2) x + . . .) 

 + 2m l \ 



i + « ; _i Cos (2i -2)x + . . J 



hvilken åter leder till följande vilkorseqvationer: 



