92 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



der vi med i/\ och Vi,«r betecknat de värden af ipi, hvilka motsvara t — och t = sn. 

 Man har på grund häraf 



Cos 2| yf,i) — #) = Cos(-^- are Sin (h Sin Vi, o)) 

 Sin 2^({i/' l ,o — H} — — Sin (-£- are Sin (&, Sin Vi, o)) 

 Cos 2 ■£ ( y Vi, w — # ) = Cos (-^- are Sin (k x Sin !/>!, m ) ) 



Sin 2 £ (4 Vm. — H ) = — Sin (^ are Sin (&, Sin Vi, «,)) 



hvilka värden böra införas i uttrycket för W { p sedan integrationen blifvit utförd. 



För att erhålla W ( * ] under den åsyftade formen är det framförallt erforderligt 

 att utveckla 



Cos ("y are Sin (& Sin Vi) I 

 och 



Sin (— are Sin (ki Sin Vi)) 



efter argumentet x. Dessa utvecklingar erhållas ur en enda, nämnligen ur 



W o "O 



V — l^- are Sin (k, Sin il/.) 

 e ., " 



Vi sätta för korthetens skull 



- = Ä 

 samt erinra oss att 



&, Cos it/, dij/ t 



are Sin (^ Sin Vi) — j- 



Vl — kf Sin t/-r 



Då nu 

 så har man 



2ä 2 2A". n 



Vi = am — - ■. , . a; = öm —7 za, 



^£^A = 2^ ^ Cos am ^ 2a . da 



vi — i-r sin i/<? * n 



således äfven 



= 2 L + g 2 Cos 2a; + 1 + ?3 6 Cos 6x 1 . . . } o# ; 



I'Jrci.<..,i V 



are Sin (& x Sin Vi) == y 1"+ * ^in ^ + "3 I+ -5 ^ m 6# + • . . 

 Utvecklingen af 



V — 1 ,9 are Sin (jfc, Sin i/ij V^T ,9 U -^-. Sin 2x + -^rr^r Sin 6x + . . .} 



= £ 



i trigonometriska serier efter argumentet x, sker med lätthet efter de methoder, hvilka 

 finnas anförda i afhandlihgen »Studien auf dem Gebiete der Störungstheorie etc. § »14, 

 hvarefter man, genom att frånskilja den reella delen från den imaginära, erhåller ut- 

 vecklingen af de båda ifrågavarande trigonometriska funktionerna. 



