Kapitel I. Konsequenser af två tlieoremer om geometriska 



ytors generering. 



§ I. Theoremer härledda af satsen: »Motsvarande elementer i två homografiska 

 knippor ytor, af ordningstalen m, n respektive, skära hvarandra i kurvor som generera 

 en yta af ordningen m -\- n, innehållande de båda knippornas basiskurvor.» 



1. Theorem. »Om A, B, C . . . äro ytor af n:te ordningen tillhörande en knippa x ) och A', 

 »B', C... äro ytor äfvenledes af n:te ordningen men tillhörande en andra knippa; 

 »om A, A' skära hvarandra samt B, B' skära hvarandra i två kurvor af ordningen 

 »mn liggande på en och samma yta C,„ af m:te ordningen (m <[ n), samt C, C äro 

 »tvenne ytor i de båda knipporna dragna till en och samma arbiträra punkt på C m : 

 »sä måste C, C" skära hvarandra i en kurva af ordningen mn liggande på C„, och 

 »de öfriga skärningskurvorna, af ordningen n(n — m), emellan A, A'; B, B' och C, C 

 »måste ligga på en och samma yta af ordningen 2n — m, som dessutom skall gå 

 »genom de båda knippornas basiskurvor.» 

 Ty, betrakta vi A, A'; B, B', C, C såsom motsvarande elementer i två homogra- 

 fiska knippor ytor, så skära de hvarandra, två och två, i kurvor som tillsamman med 

 knippornas basiskurvor, enligt det allmännare theoremet, ligga på en yta af ordningen 

 2n. Denna yta har med C„, gemensamt: tvenne kurvor af ordningen mn, utgörande de- 

 lar af skärningskurvorna (AÄ) och (BB 1 ), samt vidare åtminstone en skärningspunkt 

 emellan C och C. Men om två ytor, af ordningstalen p, q respektive, hafva gemen- 

 samt med hvarandra utom en skärningskurva af ordningen pq ännu en annan punkt, 

 så måste den ena ytan nödvändigt vara en del af den andra. Derföre måste den nämda 

 ytan af 2n:te ordningen bestå af tvenne ytor, den ena af ordningen 2n — m och den 

 andra utgörande C,„ sjelf ; samt sålunda C, C skära C,„ i samma kurva af mn:te ordnin- 

 gen, etc. 



Af detta theorem framgå med lätthet följande satser: 

 Koroli. 1. »Om genom skärningarne emellan ett plan och ytor A, B, C . . . af andra ord- 

 »ningen, gående genom samma skärningskurva, läggas koner af andra ordningen 

 »med en och samma i rymden godtyckligt tagen punkt såsom spets; så ligga de för 



l ) Man säger att ytor, som gå genom samma skärningskurva, bilda en knippa; skärningskurvan kallas knip- 

 pans basiskurva. Bland en knippas ytor finnes endast en yta som går genom en godtycklig punkt utom 

 basiskurvan. Omvändt: om en serie ytor är af den beskaffenheten att genom en godtycklig punkt endast 

 en af seriens ytor kan dragas, måste denna serie vara en knippa, eller: dess ytor måste gå genom samma 

 skärninffskurva. 



