OM GEOMETRISKA YTOU. 5 



»genom skärningslinien emellan E och E samt äro konjugatharmoniska i afseende 



»på dessa planer ^.m 

 Betrakta vi nemligen E, E' såsom ytor af andra ordningen, måste enligt det all- 

 männa theoremet deras skäringskurva jemte skärningskurvan (AB) ligga på en yta af 

 andra ordningen. Men hvarje yta af andra ordningen i knippan (E' 2 , E 2 ) måste vara 

 ett par planer konjugatharmoniska i afseende på E, E'. Om nemligen E i: =0, i£' 2 = 

 representera de ytor af andra ordningen, som planera E, E', hvilkas equationer vi förut- 

 sätta vara E = 0, i?' — 0, föreställa, så är hvarje yta i deras knippa framställd genom 

 en equation af formen E 2 — /u E' 2 — (E -- ^f~jT. E') (E ^- ~\fjiT. E') = 0, equationen för två 

 planer af den nämda beskaffenheten. Härmed den föregående satsen bevisad. 



KorolL 5. »Om tvenne ytor af fjerde ordningen äro inski^ifna i en tredje yta af samma 

 »ordning, så att de tangera denna sednare längs kurvor af åttonde ordningen, lig- 

 »gande på två ytor A, B af andra ordningen; så skära de två första ytorna hvar- 

 »andra i tvenne kurvor af åttonde ordningen, liggande på två ytor af andra ord- 

 »ningen, som gå genom skärningskurvan (AB) och äro konjugatharmoniska i afseende 

 »på A och -B.» 

 De nämda skärningskurvorna emellan de två första ytorna såväl som de ytor af 



andra ordningen, på hvilka de ligga, kunna vara imaginära. 



Koroll. 6. »Om basiskurvan till en knippa ytor af tredje ordningen består af en skär- 

 »ningskurva i? ( emellan två ytor af andra ordningen, och alltså vidare af en kurva 

 »J? 5 af femte ordningen, samt om K är en yta af andra ordningen genom R A ; så 

 »skär K den gifna knippans ytor i koniska sektioner, hvilkas planer gå genom 

 »samma räta linie L. Planerna genom L och motsvarande ytor i den gifna knip- 

 »pan skära dessutom hvarandra i räta linier som äro generatricer af samma slag till 

 »en Hyperboloid gående genom L och R° 2 ).» 

 De här förekommande planerna genom L kunna nemligen tillsamman med en yta 

 K af andra ordningen gående genom JR 4 , betraktas såsom ytor af tredje ordningen, 

 tillhörande en knippa och bland hvilka två ytor samt derrned, enligt det allmänna 

 theoremet, alla öfriga skära motsvarande ytor af tredje ordningen i den gifna knippan 

 i kurvor af sjette ordningen liggande på K. Orten för de öfriga skärningskurvorna 

 emellan motsvarande }'tor i den ursprungliga och den nya knippan måste, såsom va- 

 rande af fjerde ordningen och innehållande de båda knipponias basiskurvor, af hvilka 

 den nya knippans är L jemte en godtycklig kurva på K, vara en komplex af denna 

 sednare yta samt en andra yta af samma ordning. Den sistnämda ytan af andra ord- 

 ningen innehåller då L och R : ,. 



På samma sätt bevisas följande något allmännare sats: 

 Koroll. 7. »Om tvenne ytor af n:te ordningen skära hvarandra i en kurva af ordningen 

 »2(n — 1) som är skärningskurva emellan en yta K af andra och en yta af n — l:sta 



1 ) Chasles: Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science: la dualité et rhomographie, 

 utgörande fortsättning af Apercu historique etc. Bruxelles 1837, p. 784 Note. 



2 ) Stukm: Synthetische Untersuchungen iiber Flächen dritter Ordnung. Leipzig 1867, s. 206. 



