6 A. V. BACKLUND, 



»ordningen, så skära de hvarandra dessutom i en kurva af ordoingen (n — l) 2 — f- 1 

 »liggande på en yta af ordningen n — 1. Denna yta skär hvardera af de gifna 

 »ytorna än vidare i en plan kurva af ordningen n — 2. Dessa sednare kurvors pla- 

 »ner skära slutligen de gifna ytorna dessutom i koniska sektioner liggande på K 

 »och planernas skärningslinie ligger på den sistnämda ytan af n — l:sta ordningen.» 

 2. Theorem. »Om A, B, C,...; Ä, B', C',... bildatv å knippor ytor af n:te ordningen samt 

 -t> A, A skära hvarandra i mn punkter liggande på en kurva K m af m:te ordningen, 

 »och B, B skära hvarandra i lika många punkter på samma kurva, så skära ock de 

 »ytor C, C, som i de båda knipporna dragas till samma punkt på K m , denna sednare 

 »kurva i de samma mn punkterna. Om D, D' äro två andra ytor än de föregående, 

 »men, liksom dessa, tillhörande de båda knipporna och dragna till samma punkt på K„„ 

 »så är anharmoniska förhållandet *) emellan A, B, C, D lika med anharmoniska för- 

 »hållandet emellan A, B, C, D, och kurvan K m ligger tillsamman med knippornas 

 »basiskurvor och med de fyra kurvorna (A A'), ... (DD') på en yta af ordningen 2re.» 

 Skärningskurvorna {AA), (BB'), (CC) ligga nemligen enligt det allmännare theore- 

 met på en yta af ordningen 2n, som enligt hypothesen måste hafva åtminstone 2mn -\- 1 

 punkter gemensamma med K m . En kurva af p:te ordningen kan åter icke träffa en yta 

 af q:te ordningen i flera än pq punkter med mindre att kurvan i hela sin utsträckning- 

 ligger på ytan. Derföre ligger K m på den nämda ytan af 2rc:te ordningen och derföre 

 skära C, C denna kurva i de samma mn punkterna. — Emedan vidare de fyra kurvor- 

 na (AA), ... (DD') ligga på ytan, oin anharmoniska förhållandet emellan A,B,C,D 

 är lika med anharmoniska förhållandet emellan A, B', C, D', men nu, då såväl (DD) 

 som K m ligga på samma yta, ytorna D, D skära K„ i de samma punkterna; så måste 

 anharmoniska förhållandet emellan fyra ytor i den första knippan vara lika med an- 

 harmoniska förhållandet emellan de fyra ytor i den andra knippan, som dragas till 

 samma fyra punkter på K m , till hvilka de första ytorna äro dragna. Hvilket var andra 

 delen af föregående sats. 



KoroIL 1. »Om genom tre punkter på en skärningskurva R x emellan två ytor af andra 

 »ordningen lägges en kubisk kurva (plan eller med dubbel krökning eller tre räta 

 »linier), så skär densamma dessutom hvardera af ytorna, med Ä 4 såsom basiskurva, 

 »i tre punkter, hvilkas plan går genom en bestämd rät linie. Denna linie ligger, 

 »jemte den kubiska kurvan och i? 4 , på en yta af tredje ordningen.» 

 De här betraktade planerna utgöra nemligen, tillsamman med planet genom de 

 förstnämda tre punkterna på i? 4 och på den kubiska kurvan, ytor af andra ordningen 

 i en knippa, bland hvilka två och dermed, enligt den allmänna satsen, alla samtliga 

 skära den kubiska kurvan i samma punkter som den gifna knippans ytor. Ytan af 

 fjerde ordningen, som genereras af skärningarne emellan motsvarande ytor i den gifna 

 och den nya knippan, ' måste tydligen till en del bestå af det för alla ytorna i den nya 

 knippan gemensamma planet och derföre till en andra del af en yta af tredje ordnin- 

 gen. På denna sednare ytan ligga R± och den kubiska kurvan. 



l ) Med anharmoniskt förhållande emellan fyra ytor i samma knippa förstås anharmoniska förhållandet emellan 

 dessa ytors tangentplaner i en punkt på basiskurvan. 



