10 A. V. BÄCKLUND, 



Ytan, som motsvarar en arbiträr punkt / i planet bed, bestämmes genom att i 

 detta plan draga en rät linie genom f och enligt föregående konstruera de ytor som 

 motsvara denna linies skärningspunkter med sidorna i triangeln bed; dessa tre ytor 

 bilda en knippa och den sökta ytan som motsvarar / är nu bestämd genom att till- 

 höra knippan och att med de tre förra bilda ett anharmoniskt förhållande lika med 

 anharmoniska förhållandet emellan / och de tre förutnämda skärningspunkterna emellan 

 räta linien genom / och triangeln bed. — På samma sätt bestämmes motsvarigheten 

 emellan punkterna i planet bee och ytorna i nätet (B, C, E). 



Den yta i systemet slutligen, som motsvarar en godtyckligt i rymden tagen punkt 

 z, bestämmer man derigenom, att man genom z och a drager en rät linie samt kon- 

 struerar de ytor F ly F 2 som motsvara skärningspunkterna f u f 2 emellan denna linie och 

 planerna bed, bee; och vidare i knippan A, F u F 2 bestämmer den yta Z, som med de 

 förra bildar ett anharmoniskt förhållande (A, F 1} F 2 , Z) lika med anharmoniska förhål- 

 landet (a,fi,f 2 ,z). Ytan Z är då den sökta ytan. 



5. Den nämcla motsvarigheten emellan punkter i rymden och ytor ,i ett system 

 kan exakt uttryckas på följande sätt: 



Punkter i samma plan motsvara ytor i samma nät, och omvändt; 



punkter på samma räta linie motsvara ytor i samma knippa, och omvändt; 



anharmoniska förhållandet emellan fyra punkter på en rät linie är lika med an- 

 harmoniska förhållandet emellan de motsvarande ytorna. 



Det är enligt dessa lagar, satser om punkter skola transformeras till satser om 

 ytor i ett gifvet system. - - Betrakta vi punkterna såsom tillhörande en första figur 

 och ytorna i systemet såsom tillhörande' en andra figur, så är dessa figurers inbördes 

 förhållande gifvet genom satserna: 



I. »Hvarje punkt i den första figuren motsvarar i den andra figuren en yta i syste- 

 »met, och omvändt»; 



»hvarje rät linie i den första figuren motsvarar i den andra figuren en kurva i sy- 

 »stemet l ), och omvändt»; 



»hvarje plan i den första figuren motsvarar i den andra figuren en grupp basispunk- 

 »ter i systemet 2 ),« och omvändt.» 



II. »Fyra punkter på en rät linie i den första figuren hafva samma anharmoniska 

 »förhållande som de fyra motsvarande ytorna i den andra figuren.» 



6. Vi skola här genom två exempel visa tillämpningen af dessa transformations- 

 lagar. — Vi upptaga satsen: »Om abed är en fyrhörning (plan eller icke-plan), så gå 

 sammanbindningslinierna af midtpunkterna emellan ab och cd, af midtpunkterna emellan 

 ad och be samt af midtpunkterna mellan ac och bd, alla tre genom en och samma 

 punkt». Man bevisar denna sats enklast genom att betrakta a, b, c, d såsom materiella 

 punkter med lika stora massor; den nämda skärningspunkten blir då tyngdpunkt för 

 a, b, c, d och, såsom sådan, ligger den på sammanbindningslinien emellan tyngdpunkterna 

 för a, b och för c, d; för a, d och för b, c samt slutligen för a, c och för b, d. — 



*) Med en "kurva i systemet" vilja vi här och framdeles förstå en skärningskurva emellan två ytor i systemet. 

 2 ) Med en "grupp basispunkter i systemet" förstå vi skärningspunkterna emellan tre ytor i systemet, som ej 

 bilda en knippa. 



