OM GEOMETRISKA YTOE. 11 



Transformerad enligt den af Chasles framställda principen för homografien, öfvergår 



denna sats i den följande: 



»Om en fyrhörning abcd är gifven och ett plan E skär dess sidor och diagonaler 



ab, be, cd, da, ac, bd i punkterna «, /?, y, å, s, £ respektive, samt cc', P',*y'> d> s '> £ äro de 



till dem konjugatharmoniska punkterna respektive sidornas ändpunkter; så gå räta lini- 



erna «'/, fi'd', e'£' genom en och samma punkt». 



Genom de i förra artikeln gifna principerna erhåller man häraf för ytor i ett system: 

 »Om A, B, C, D äro fyra ytor af samma ordning, samt (/) äro skärningspunkterna 

 »emellan tre andra ytor i det system som bestämmes af de fyra gifna; om genom (/) 

 »samt skärningskurvan emellan A, B lägges en yta af samma ordning som dessa, 

 »och Ä är den konjugatharmoniska ytan till denna sednare respektive A, B; om 

 »vidare genom (Å) och skärningskurvorna (BC), (CD), (DA), (AC), (BD) läggas ytor 

 »samt B',C, D', E, F' äro deras konjugatharmoniska ytor respektive B, C; C, D etc. : 

 »så ligga skärningskurvorna (A'C"), (BD), (EF) på samma yta i systemet.» 

 Satsen: »Om tvenne planer E, E skäras af en rät linie L, gående genom en 



punkt o, i punkterna e, e samt o är konjugatharmonisk till o respektive e, e ; så beskrif- 



ver punkten o, när L vrider sig kring o, ett plan gående genom linien (EE)» gifver 



upphof till den efterföljande satsen: 



»Om (X), (/t') äro tvenne grupper basispunkter i ett gifvet system ytor och sålunda 

 »båda liggande på samma kurva i systemet och vi kalla denna kurva för R, samt 

 »O är en arbiträr yta i systemet; om genom (X) och tvenne punkter på O lägges 

 »en yta A (af samma ordning som O), genom (/') och de samma två punkterna på 

 »O lägges en andra yta B; om vidare genom kurvan (AB) — hvilken tydligen 1ig- 

 »ger på O — en yta O dragés konjugatharmonisk till O i afseende pä A och B: 

 »så bilda alla, de serskilda lägena af {AB) på O motsvarande, ytorna O' ett geo- 

 »metriskt nät, hvars basispunkter ligga på den ofvannämda kurvan i?.» 



§ II. Egenskaper hos ytor, härledda af analogien emellan planer och ytor i ett system. 



7. Bilda vi den korrelativa figuren till den första af de i (5) betraktade, så finna 

 vi att denna nya figur, hvilken vi nu beteckna såsom en första, motsvarar den andra 

 figuren enligt följande lagar: 



I. »Hvarje plan i den första figuren motsvar i den andra figuren en yta i det 

 »gifna systemet, och omvändt;» 



»hvarje rät linie i den första figuren motsvarar i den andra figuren en kurva i sy- 

 »stemet, och omvändt;» 



»hvarje punkt i den första figuren motsvarar i den andra figuren en grupp basis- 

 spunkter i systemet, och omvändt.» 



II. »Fyra planer i den första figuren gående genom samma linie hafva samma 

 »anharmoniska förhållande som de fyra motsvarande ytorna i den andra figuren.» 



8. Föreställom oss i den andra figuren en yta C\ n af 2n:te ordningen, genererad 

 af skärningskurvorna emellan motsvarande ytor i två homografiska knippor ytor af n:te 



