12 A. V. BÄCKLUND, 



ordningen, hvilka båda tillhöra ett och samma nät '). Denna yta motsvaras enligt före- 

 gående artikel af en yta i den första figuren som är genererad af skärningslinierna 

 emellan motsvarande elementer i två homografiska knippor planer, hvilka samtliga gå 

 o-enom en och samma punkt. Denna yta är en kägla af andra ordningen; så att: 



»En yta C 2n af 2n:te ordningen, genererad af skärningskurvorna emellan motsva- 

 »rande elementer i två homografiska knippor ytor af n:te ordningen, som tillhöra 

 »samma nät, motsvarar i den första figuren en kägla af andra ordningen.» 

 Satser om käglan af andra ordningen kunna sålunda öfverflyttas till satser om en 

 på nämda sätt genererad yta af 2n:te ordningen. 



Satsen: »Hvarje plan genom käglans spets skär densamma i två räta linier» gif- 

 ver oss den följande: 



(q) »Hvarje yta i det förra nätet skär C 2n i tvenne kurvor af ordningen n 2 , som 

 »båda gå genom nätets basispunkter.» 



Satsen: »En och samma kägla kan genereras af en oändlighet två knippor planer, 

 gående genom spetsen; tangentplanet längs en knippas axel är det plan, som i denna 

 knippa motsvarar planet i den andra knippan, hvilket dragés genom den första knip- 

 pans axel» motsvaras af efterföljande: 



(b) »Ytan C 2n kan genereras af en oändlighet andra två knippor ytor i det förut gifna 

 »nätet; längs en dylik knippas basiskurva tangeras C in af den yta i denna knippa, som mot- 

 »svarar, i den andra knippan, den för de båda genererande knipporna gemensamma ytan.» 



Att den gemensamma skärningspunkten för de käglan genererande planerna är 

 en dubbelpunkt på densamma, bevisar att: 



(c) »Ytan C 2n har n 3 dubbelpunkter; dessa äro det genererande nätets basispunkter.» 

 »Genom hvarje punkt gå två planer, som beröra käglan längs två räta linier gå- 

 ende genom spetsen»: 



(cl) »Genom hvarje punkt i rymden gå tvenne ytor i nätet, hvilka tangera C 2n längs 

 »tvenne kurvor af ordningen ?^ 2 , gående genom nätets basispunkter och sålunda 1ig- 

 »gande båda på en tredje yta i nätet.» 



»Om en rät linie L vrider sig kring käglans spets i ett plan E samt man genom 

 densamma lägger tangentplaner till käglan och konstruerar det plan E, som är kon- 

 jugatharmoniskt till E i afseende på dessa tagentplaner; så skära, de serskilda lägena 

 af L motsvarande, planerna E hvarandra i en och samma linie; genom densamma går 

 äfvenledes polarplanet för L i afseende på käglan»: 



(e) »Om L är en kurva i nätet, liggande på en yta C°, och man genom densamma 

 »drager de två ytor i nätet som tangera C 2 „, samt konstruerar ytan C n , konjugatharmo- 

 »niskt till C° n respektive dessa ytor: så gå samtliga, de serskilda lägena af L på C°„ 

 »motsvarande, ytorna C„ genom en och samma kurva af ordningen n~ tillhörande nä- 

 stet; genom denna kurva går ock hvarje yta, som innehåller beröringskurvorna emel- 

 »lan C 2n och de par ytor, hvilka, gående genom förutnämda kurva L, tangera C 2 „.» 



x ) Denna yta är på annat sätt behandlad af Cremona i bans Mémoire de géométrie pure sur les surfaces du 

 troisiéme ordre, Crelles Journ. Bd. 68 och införd i samma författares Grundziige einer allgemeinen Theorie 

 der Oberflächen, ins Deutsche iibertragen von M. Cuetze. Berlin 1870, s. 125 — 127; satserna (a) — (c) 

 äro derstädes framställda. 



