14 A. v. 



10. De föregående satserna låta på visst sätt utsträcka sig till en yta C m+n af 

 m -\- rr.te ordningen, genererad genom skärningskurvorna emellan motsvarande elementer 

 i två homografiska knippor ytor af m:te och n:te ordningen respektive. Om neinligen 

 n> m, foga vi till den genererande knippan ytor af m:te ordningen en yta C n _,„ af 

 n — m:te ordningen, så att komplexerna af C„_ m med ytorna i knippan af m:te ord- 

 ningen bilda en knippa ytor af ?z:te ordningen. Denna knippa tillsamman med den 

 förut gifna knippan af samma ordning genererar en yta af 2n:te ordningen: komplexen 

 af C n+m med C n - m . För denna komplex gälla de förra satserna; ytan C n ^,,, är godtyck- 

 lig, kan sålunda vara ett plan n — m gånger räknadt; — de gälla då för C m+ » tillsam- 

 man med ett plan n — m gånger räknadt. 



§ III. Om ytor* polar planer. 

 11. Leiimia I. "Om A, B äro tvenne ytor af samma ordning och B har en dubbelpunkt 

 »i o, så är polarplanet för o i afseende på A äfven polarplan för samma punkt 

 »i afseende på hvarje yta i knippan (A, B) ^.b 

 Ty emedan polarplanerna för en godtycklig punkt i rymden, respektive de ser- 

 skilda ytorna i en knippa, gå genom samma räta linie, så måste polarplanet för o re- 

 spektive hvarje yta i knippan (A, B) gå genom skärningslinien emellan polarplanerna 

 för samma punkt respektive A och respektive B. Men då o är en dubbelpunkt på B, 

 så är dess polarplan respektive denna yta obestämd och derföre hvarje linie i polar- 

 planet för o respektive A en skärningslinie med punktens polarplan respektive B. 

 Polarplanet. för o respektive en annan yta i knippan (A, B), såsom gående genom dessa 

 linier, måste sålunda sammanfalla med polarplanet för o respektive A. H. S. B. 

 EiCiiinia II. a. »Om A, B äro tvenne ytor af m:te och n:te ordningen respektive, så går 

 »polarplanet för en punkt o, hvilka som helst, i afseende på komplexen A . B, be- 

 »traktad såsom en enda yta, genom skärningslinien emellan samma punkts polar- 

 »planer respektive A och respektive B. Om med x, a, b utmärkas dessa polarers 

 »respektive skärningspunkter med en godtycklig transversal genom o, så är läget 

 »af komplexens A . B polarplan fullkomligt bestämdt genom relationen : 



m + n m n 



= — + -r • » 



ox oa ob 



Bevis. Om skärningspunkterna emellan transversalen genom o och ytorna A, B 



äro a, a',...- [i, ii',... respektive, så är skärningspunkten a emellan transversalen och 



polarplanet för o respektive A, såsom varande det harmoniska centrum af första graden 



för o såsom pol respektive punkterna ci, a', ..., gifven genom eqvationen : 



m _ 1 1 



= — + ; + 5 



oa oa oa 



transversalens skärningspunkt b med polarplanet för o respektive B genom eqvationen: 



^ = 1 -1 4- 



ob op """ o? "*" 



och slutligen dess skärningspunkt x med polarplanet respektive komplexen A . B genom 

 eqvationen : 



^i±^ = l + J_ + ....l + i_ + 



OX oa oa' o$ 0/3' 



l ) Cremona: Grundzuge einer idlgemeinen Theorie etc, s. 106. 



