OM GEOMETRISKA YTOR. 15 



Genom att med hvarandra jemföra högra membra i dessa tre eqvationer, framgår 

 den uppställda satsen. 



Häraf följer vidare för det fall att m = n: 



»Om A, B äro tvenne ytor af samma ordning, så är polarplanet för en god- 

 tycklig punkt o, respektive komplexen A . B, polarplan för o respektive komplexen 

 »af samma punkts polarplaner i afseende på A och i afseende på 7J.» 

 Föregående lemma kan, såsom man genast ser af dess bevisning, generaliseras pä 

 följande sätt: 



b. »Om A, B, C,... äro ytor af ordningstalen m,m,m", ... respektive, samt 

 »a, b, c, ... äro skärningspunkter med en transversal genom o och denna punkts polar- 

 »planer respektive de gifna ytorna; om vidare x är samma transversals skärnings- 

 »punkt med polarplanet för o i afseende på komplexen A . B . C ...: så är detta plan 

 »bestämdt såsom ort för en punkt x, uppfyllande relationen: 



m -\-m' -\-m"-\- ■■■ m m' vi" n 



ox oa ob oc 



12. Om en yta C m+n af m -f- n:te ordningen är genererad genom skärningskur- 

 vorna emellan motsvarande elementer A och B, A' och B', etc. i två homografiska knip- 

 por ytor A, A',...; B, B',..., af m:te och n:ie ordningen respektive; så går densamma 

 genom skärningskurvan emellan följande tvenne ytor af m -f- n:te ordningen: komplexen 

 A . B' samt komplexen Ä . B. — Emedan vidare hvarje punkt p på skärningskurvan 

 emellan A och B är en dubbelpunkt för ytan A . B', så är enligt det första lemmat i 

 föregående artikel dess polarplan respektive C m+n just polarplanet för p respektive kom- 

 plexen A .B. — Häraf följande theorem: 



»Om en yta C af m -j- n:te ordningen är genererad medelst två homografiska 

 »knippor ytor (A, A') och (B, B') af ra:te och n:te ordningen respektive, samt A är 

 »den yta i den första knippan som går genom en i rymden godtyckligt tagen punkt 

 »p, B den yta i den andra knippan som går genom samma punkt; om vidare B, A' 

 »äro de ytor som motsvara A, B' respektive: så är polarplanet för p respektive C 

 »denna samma punkts polarplan respektive komplexen A . B.» 



13. Då de båda genererande knipporna äro af samma ordning och tillhöra samma 

 nät, följer häraf och af satserna (b), (d) i (8): 



»Om en yta' C är genererad af två homografiska knippor ytor af samma ordning, 

 »tillhörande samma nät, och genom en i rymden godtyckligt tagen punkt p de två 

 »ytor i nätet dragas som tangera C, samt K är den yta i nätet som innehåller de 

 »båda beröringskurvorna; så är polarplanet för p respektive C identiskt med samma 

 »punkts polarplan i afseende på K.» 



14. Vi kunna äfven af det uppställda theoremet draga följande slutsats: 



»Om en yta C är genererad af två homografiska knippor ytor af samma ordning, 

 »som icke tillhöra samma nät, och genom en i rymden godtyckligt tagen punkt p 

 »läggas tre af de ytor, hvilka tillhöra det af de båda knipporna bestämda systemet 

 »och och hvilka tangera C, samt K är den yta i systemet, som innehåller deras 

 »beröringspunkter (9,6); så är polarplanet för p respektive C just denna punkts 

 »polarplan respektive K.» 



