OM GEOMETRISKA YTOR. 17 



Om A, B samt Ä, B motsvara hvarandra, så tillhör C knippan af komplexerna 

 A . B och A' . B. Emedan vidare qvadratiska polärorna för en punkt i afseende på 

 kurvorna i en knippa sjelfva bilda en knippa, så blir qvadratiska polaren för o i afse- 

 ende på C en kurva i knippan af qvadratiska polarerna för samma punkt i afseende 

 på A . B och Ä . B. De sednare qvadratiska polarerna äro tangentparen i o till de 

 kurvor, af hvilka komplexerna bestå. Kalla vi dessa tangenter ex, (i' och et', fi respektive, 

 så följer att den ifrågavarande qvadratiska polaren, tangentparet i o till kurvan C, bil- 

 dar en involution med et, /i' och et', (i. 



Detta kan man ock uttrycka på följande sätt: 



»Om a, a', a" äro tangenterna i o till tre kurvor i den första knippan, och /i, /i', ii" 

 tangenter i samma punkt till de tre motsvarande kurvorna i den andra knippan, så äro 

 tangenterna i o till kurvans C grenar genom denna punkt dubbelstrålarne till de två 

 homografiska linieknippor, som genom a, a, a"; (3, (i ', /?" äro bestämda x ).» 



16. Om A, A', ... ; B, B', ... äro tvenne homografiska knippor kurvor, o en gemen- 

 sam basispunkt samt både A och den motsvarande kurvan B hafva en dubbelpunkt i 

 o, så har den af knipporna genererade kurvan C tre grenar genom o. Grenarnes tan- 

 genter äro kubiska polaren för o i afseende på C. 



På samma sätt som i föregående artikel bevisar man, att dessa tre linier tillhöra 

 knippan af kubiska polarerna för o i afseende på komplexerna A . B' och A' . B. Om 

 a 1 ,a 2 äro de båda tangenterna i o till kurvan A; fii, fi 2 de båda tangenterna i o till 

 B, samt « ', P' tangenterna i samma punkt till Ä, B respektive ; så följer att »tangenterna 

 i o till kurvans C tre grenar genom denna punkt bilda en involution med a 1} ec 2 , /i 1 och 

 a, (iy, /?s.» 



Häraf följer vidare, att, »om de två knipporna kurvor i den gemensamma basis- 

 punkten hafva en tangent gemensam, så att /i' sammanfaller med et, så äro tangenterna 

 i o till C räta linien «' samt två räta linier, hvilka med a i} ce 2 ; /i 1} [i 2 bilda en qvadra- 

 tisk involution.» 



Kapitel III. Om rena och sammansatta polarer för punkter, linier 



och planer; om Hesses yta. 



§ I. Definitioner. Inledande satser 2 ). 



17. I det följande beteckna vi med P l C,„ eller kortligen med Pl eller P„ första 

 polarytan för o såsom pol respektive en yta C m af m:te ordningen, med Pl, P 5 etc. 

 andra, tredje etc. polarytorna för samma punkt såsom pol i afseende på samma yta; 

 första polarytan för o i afseende på första polarytan för o respektive C m , d. ä. P ( ), P l C m 

 eller P u -P teckna vi kortligen med P 00 , eller, då första polaren för o' respektive första 



L ) Cremona: Introduzione . . . Einleitimg in eine geometrische Theorie der ebenen Curven, Deutsch von M. 

 Curtze. Greifswald 1865, s. 76 art. 52. 



2 ) En del af de i denna § innehållna satserna äro, genom andra betraktelser, liärledda af Cremona i ofvan 

 citerade Grundziige etc., ss. 128—133, 137—139. 



K. Vet. Akad. Handl. B. i). N:o !). O 



