18 A. V. BÄCK LUND, 



polaren för o är identisk med första polaren för o respektive första polaren för o l ), 

 med Poo', så att P. JU = Poc- Denna sednare yta kallar man enligt Cremona sammansatta 

 polaren för punkterna o, o'. 



»En sammansatt polaryta för två punkter o, o' kan ock definieras såsom ort för 

 de punkter, respektive hvilkas qvadratiska polarytor punkterna o, o' äro konjugatpoler». 

 (Cremona). Ty om x är en punkt på P„P , så går polarplanet för x i afseende på P n 

 genom d, d. v. s. P x ~~Pl eller PIP X ~ 2 går genom o'; hvilket bevisar att o, o' äro kon- 

 jugatpoler respektive P x ~ 3 , som är qvadratiska polarytan för x i afseende på C m . 



18. Af den första definitionen följer genast »att sammansatta polarerna för en 

 fast punkt o och de serskilda punkterna på en rät linie R, hvilkensomheldst, bilda en 

 knippa ytor.» Vidare se vi »att knippans basiskurva är första polarkurvan för R respek- 

 tive första polaren för o, eller: orten för de punkter, respektive hvilkas qvadratiska 

 polarytor reciproka polaren för R går genom o.» 



Låt y vara en variabel punkt på R och b, b' tvenne punkter på en andra rät linie 

 R. Då bilda, när y rör sig utåt R, ytorna P hy och P Vy tvenne knippor ytor af m — 2:dra 

 ordningen; skärningskurvorna emellan samma läge af y motsvarande ytor P hlJ , P Vy gene- 

 rera derföre en yta af ordningen 2(m — 2). Af det sätt, på hvilket denna yta blifvit 

 genererad, följer att densamma är ort för de punkter, respektive hvilkas qvadratiska 

 polarytor reciproka polaren för R träffar R. Men om reciproka polaren för R', i af- 

 seende på en yta af andra ordningen, träffar R, så måste ock reciproka polaren för R, 

 i afseende på denna samma yta, träffa R. Den ifrågavarande ytan af ordningen 2(m — 2) 

 är derföre identisk med orten för de punkter, respektive hvilkas qvadratiska polarytor 

 reciproka polaren för R träffar R '; men denna ort är enligt föregående genererad af 

 skärningskurvorna emellan P ax och P a ' X , hvarest a, a utmärka tvenne punkter på R 

 och x är en variabel punkt på R. — Sålunda: »den nämnda ytan af 2 (to — 2):dra ord- 

 ningen, kallad sammansatta polaren för R, R', är genererad af skärningskurvan emellan 

 två sammansatta polarer P ax ,P a - x , hvarest a, a utmärka två punkter på den ena linien, 

 R eller R, och x är en variabel punkt på den andra linien.» — Vi beteckna denna yta 

 med J BtR . 



19. Om R sammanfaller med R, blir J Ä , B ort för de punkter, respektive hvil- 

 kas qvadratiska polarytor reciproka polaren för R träffar R sjelf, sålunda ort för de 

 punkter, hvilkas qvadratiska polarytor tangera R. Dermed är den äfven envelopp af 

 andra polarerna för punkterna på R. »Denna yta, kallad andra polaren för R, är gene- 

 rerad af skärningskurvan emellan P ax , P a - X — der a, a äro tvenne punkter, hvilka som 

 heldst, på R och x en variabel punkt på samma linie.» 



Obs. Beträffande de båda sednare knipporna (P ax , P ax ), (P a -x, -P«v) bemärka vi att de 

 hafva en yta P aa > gemensam: »andra polarerna tillsamman med sammansatta polarerna 

 för punkterna på en rät linie R bilda ett geometriskt nät.» 



l ) Vi förutsätta kännedom om satserna i Ckemonas Einleitung etc, s. 100, 101; dessa satser, derstädes bevi- 

 sade för polarer respektive en plan kurva, gälla på fullkomligt samma sätt för polarer respektive en yta, 

 på grund deraf att ett godtyckligt plan genom en punkt o skär ytan ocli r:te polarytan för o, respektive 

 densamma, i en kurva och i >-:te polaren för o respektive kurvan. 



