OM GEOMETRISKA YTOE. 19 



20. »Om R är oförändrad men R vrider sig i ett gifvet plan kring en gifven 

 punkt, bilda motsvarande J RtB! en knippa.» Ty kalla vi E det gifna planet och o den 

 gifna punkten på detsamma, så finner man på följande sätt, att en punkt p, godtyckligt 

 tagen, bestämmer en enda yta J. Reciproka polaren för R i afseende på qvadratiska 

 polaren för p skär nemligen E i en punkt, som sammanbunden med o bestämmer den 

 enda räta linie R, hvars motsvarande J R , a går genom p. Knippans basiskurva är or- 

 ten för de punkter, i afseende på hvilkas qvadratiska polarytor reciproka polaren för 

 R antingen ligger i planet E eller går genom den gifna punkten o. De punkter, re- 

 spektive hvilkas qvadratiska polarytor reciproka polaren för R går genom o, bilda (18) 

 en kurva af ordningen (m — 2) , liggande på sammansatta polaren för o och en punkt, 

 hvilken som heldst, på R. Återstår att »orten för de punkter, i afsende på hvilkas 

 qvadratiska polarytor reciproka polaren för R ligger i det gifna planet, eller polen till 

 det gifna planet ligger på R, är en kurva af ordningen 3(m — 2) 2 .» 



Om då tvenne räta linier R u i? ä äro gifna samt i ett plan E en knippa linier R, 

 hvars centrum är o, så ckära ett och samma läge af R' motsvarande ytorna Jn^ie och 

 Ji^ir hvarandra i en kurva, genererande en yta af ordningen 4(m — 2). Denna yta är 

 orten för de punkter, i afseende på hvilkas qvadratiska polarytor polarplanerna för o 

 och någon annan punkt på E skära hvarandra i en rät linie träffande R t och R- 2 . 



Om R h Ri skära hvarandra i en punkt o, blir den på nämda sätt genererade ytan 

 ort för de punkter, i afseende på hvilkas qvadratiska polarytor polarplarerna för o och 

 för någon annan punkt i E skära hvarandra i en rät linie, som antingen ligger i pla- 

 net R x R 2 eller går genom o'; d. ä. en yta, respektive hvars punkters qvadratiska polar- 

 ytor antingen planet i?i R 2 är polarplan för en punkt i E, eller ock polarplanet för o 

 går genom o'. — Respektive qvadratiska polarytorna för punkterna på P w gå åter po- 

 larplanerna för o genom d. — Sålunda är orten för de punkter, respektive hvilkas qva- 

 dratiska polarytor polen till ett plan E ligger i E, eller planerna E, E äro konjugat- 

 polarplaner, en yta af ordningen 3(ra — 2). 



En så beskaffad yta kallas sammansatt polaryta för planerna E, E; vi beteckna 

 densamma med T EtE .och känna enligt föregående om densamma, att »sammansatta pola- 

 ren för två planer abe, db'c — der a, ...c utmärka punkter — är, tillsamman med 

 sammansatta polaren P a , a ; genererad af skärningskurvan emellan, samma läge af linien 

 dy — hvarest y är en variabel punkt i planet db'é — motsvarande elementer i två 

 knippor ytor ( J alli a - y , J a i, «y) och (J ac , a ■ u ,J tt c, ay) }) ; eller, då a, a kunna väljas att sammanfalla 

 i en punkt på planernas skärningslinje samt b att vara en andra punkt på samma linie: 

 »sammansatta polaren för två planer abc, abd är, jemte andra polaren Pl, genererad af 

 skärnings kurvan emellan J ah ^ ay och J m , a! „ när y utmärker en variabel punkt i planet abd.» 



21. Om i föregående artikel planerna E, E sammanfalla, blir T KE ort för de 

 punkter, hvilkas qvadratiska polarytor tangera E. Dermed är den ock envelopp af 

 andra polarerna för punkterna på E; man kallar densamma andra polar för planet E 

 och kan då om den utsäga, att »andra polaren för ett gifvet plan är, tillsamman med 

 andra polaren för en godtycklig punkt a i planet, genererad af skärningskurvan emellan 

 Jdb, ay och Jac,a V — hvarest 6, c utmärka två i planet godtyckligt tagna punkter och y en 

 variabel punkt i samma plan.» 



