20 A. V. BACKLUND, 



Obs. Om de här förekommande knipporna J bemärka vi, att de hafva en yta J ab ,ac 

 gemensam: »ytorna J ax , av — der a är fast, men x och y variabla i ett gifvet plan ge- 

 nom a — bilda ett geometriskt nät.» 



22. Om E blir oförändrad, men E' vrider sig kring en rät linie R', bilda mot- 

 svarande T E;E en knippa ytor. Basiskurvan är ort för de punkter, i afseende på hvilkas 

 qvadratiska polarytor polen till E antingen ligger på R' eller är fullkomligt obestämd. 

 Sålunda består basiskurvan af tvenne kurvor: den ena (20) af ordningen 3(m — 2) 2 lig- 

 gande på Jr\tc, om R utmärker en arbiträr linie i E; den andra af ordningen 6(m — 2) 2 . 

 Derföre: »orten för de punkter, i afseende på hvilkas qvadratiska polarytor polen för E 

 är obestämd, d. ä. hvilkas qvadratiska polarytor äro koner med spetsarne i E, är en 

 kurva af ordningen 6(m — 2) 2 .» 



Om Ei, E 2 äro tvenne planer skärande hvarandra i en rät linie R, och E\, E>, ... 

 äro planer gående genom en och samma linie R, så genererar skärningskurvan emellan 

 ett och samma läge af E motsvarande ytor T Eu e och T E „, E en yta af ordningen 6(m — 2). 

 Denna yta blir ort för de punkter, i afseende på hvilkas qvadratiska polarytor polen 

 för något plan E antingen ligger på R eller är obestämd. Om åter respektive en yta 

 af andra ordningen polen för ett plan genom R ligger på R, så måste, respektive 

 denna samma yta, reciproka polaren för R träffa R. Orten för de punkter, hvilkas 

 qvadratiska polarytor hafva i afseende på R, R' denna egenskap är (18) ytan J £tJr af 

 ordningen 2(m — 2). Denna utgör då en del af den förra ytan, hvars andra del så- 

 lunda är af ordningen 4(m — 2). Häraf följer, att orten för de punkter, hvilkas qva- 

 dratiska polarytor äro koner, är en yta af ordningen 4(m — 2). Denna yta är Hesses 

 yta för C m ; och om densamma följer af det föregående, då vi låta R och R samman- 

 falla, att »Hesses yta är, tillsamman med andra polaren J MiR för en rät linie R, hvilken 

 som heldst, genererad af skärningskurvan emellan ytorna T EX ,T E , X — hvarest E, E 

 utmärka två fasta arbiträra planer och X ett variabelt plan, alla planerna gående genom 

 en och samma räta linie -K.» 



Obs. Om knipporna (T EX , T EX >), {T E , X , T E ,x) bemärka vi att de hafva en yta T EE ge- 

 mensam: »ytorna T x ,y — der Jf, Y äro planer gående genom en gifven rät linie R — 

 bilda ett geometriskt nät.» 



23. Hesses yta, såsom innehållande de punkter, hvilkas qvadratiska polarytor 

 hafva en dubbelpunkt, kan ock definieras såsom ort för dubbelpunkterna till första 

 polarytorna ') respektive C',„; derined äfven såsom ort för de punkter, hvilkas polarpla- 

 ner respektive samtliga ytorna i första polarsystemet gå genom en och samma punkt. 

 På detta sätt definierad, blir Hesses yta identisk med Jacobis yta för fyra första pola- 

 rer, i afseende på C m , hvilkas poler icke ligga i samma plan. — Till denna sednare yta 

 återkomma vi framdeles. 



§ II. Allmänna satser om polar er för linier och planer samt om Hes ses yta. 



24. Om de i (18) beblandade knipporna P^, P ax bemärka vi, att h varje samman- 

 satt polar P „. för två punkter o ,d hvilka som heldst, den första på R och den andra 



') »Om första polaren för o har en dubbelpunkt i o, så liar qvadratiska polaren för o en dubbelpunkt i o 

 och omvändt». Cremona : Einleitung etc., s. 110. 



