3 



OM GEOMETRISKA YTOR. 21 



på R, är en yta i det system, som genom de båda knipporna är bestämdt. Ty P ao . 

 och P nV äro ytor i systemet, emedan hvardera tillhör en af de gifna knipporna, och 

 ytan P Vo går enligt första satsen i (18) genom deras skärningskurva; derför tillhör den 

 det ifrågavarande systemet. 



Af (18) och af satserna (a), (b) i (9) är nu klart att: 



»Sammansatta polaren för två punkter hvilka som heldst a, b, den ena liggande på 



»i? och den andra på E', skär i två kurvor af ordningen (m — 2) 2 och berör i (m — 2) 



»punkter sammansatta polaren för R, R. De 3(m — 2) 3 beröringspunkterna emellan 



»ytan och trenne polarer P ai , P nV , P a - b - ligga samtliga på en yta af ordningen m — 2.» 



25. Om a, a', a" äro tre oändligt nära hvarandra belägna punkter på ett plan E, 

 så äro de (m — 2)' ! skärningspunkterna emellan andra polarerna för a, a, a" poler till 

 de qvadratiska polarytor, hvilka i a tangera planet E. Häraf och af den andra defini- 

 tionen (17) på P ax följer att, om x, y äro två arbiträra punkter i E, de nämda polerna 

 äro skärningspunkter emellan P„, P ax , P alJ . Men dessa skärningspunkter äro tangerings- 

 punkter emellan P« och J ax , ay , ty P\ är den yta i knippan (P atJ , P a!l ) — hvarest y är 

 en punkt på linien ay — som i knippan (P xy , P XIJ ) motsvarar ytan P ax (9 a). Härmed 

 är då bevisadt, att 



»Sammansatta polarerna för liniepar, som ligga i samma plan och hafva samma 

 »punkt a såsom spets, tangera hvarandra och andra polaren för a i de samma 

 »(m — 2) 3 punkterna.» 



26. Af (19) och (8) följer: 



»Sammansatta polaren P ab för tvenne punkter a, b skär andra polaren för räta 

 »linien ab i tvenne kurvor af ordningen (m — 2)' 2 , längs hvilka denna sednare yta 

 »tangeras af andra polarerna PJ och P£. Andra polarytan för en rät linie har 

 »(»i — 2) 3 dubbelpunkter x ).» 

 Dubbelpunkternas qvadratiska polarytor innehålla linien ab fullständigt. 

 Om a, b äro skärningspunkterna emellan en rät linie R och qvadratiska polarytan 

 för en punkt p, så äro andra polarerna för a och b de två ytor i nätet P x ^ - - der 

 x, x äro punkter på R — , hvilka genom p kunna dragas tangerande andra polaren för 

 R; deras beröringskurvor ligga båda på sammansatta polaren för a och b. 



27. Vi bevisa lätt, med användande af samma method som följdes i (24) för den 

 liknande satsen, att sammansatta polarytan för tvenne räta linier, den ena i planet E 

 gående genom a, den andra i E' och gående genom a , tillhör det system, som bestäm- 

 mes genom de i (20) behandlade knipporna J,a h ^ y och J ac ,a', r - Af (20) och (9) härleda 

 vi, att sammansatta polaren Jo», o-» för tvenne linier — den ena linien, ab, liggande på E 

 och gående genom en punkt a, den andra, ay, liggande på E' och gående genom en punkt 

 d - tangerar komplexen af sammansatta polarerna T E _ E och P aa: i 8 (ni — 2) 3 punkter. 

 Enligt (24) äro (>u — 2) : ' af dem beröringspunkter med P on <. Erinra vi oss vidare af (20) att 

 basiskurvan till knippan, som J ab . a ' y beskrifver när y genomlöper planet E', består af en 

 kurva af ordningen (m — 2) 2 liggande på P aa ' och en kurva af ordningen 8(m — 2) 2 liggande 

 på T E , E , samt af (9) att beröringspunkterna måste ligga på basiskurvan"; så se vi att de 



') Ceemona: Grundziige etc, ofvan citeradt ställe. 



