22 A. V. BÄCKLUND, 



3(m — 2) 3 skärningspunkterna emellan P aa . och den sistnämda delen af basiskurvan äro, 

 såsom varande dubbelpunkter på komplexen af P oa . med T EyE , att räkna bland dess 

 8(m — 2) 3 beröringspunkter med ytan J U h,,o r Det återstår då endast 4(m — 2) 3 punkter 

 såsom beröringspunkter emellan den sista ytan och ytan T EE . 

 Häraf och af (9 b) följer att: 

 »Sammansatta polaren för två räta linier, den ena liggande i ett plan E och den 

 »andra i ett plan E , skär i tvenne kurvor af ordningen 3(to — 2)*' och tangerar i 

 »4(m — 2) 3 punkter sammansatta polaren för planerna E, E. De 12(m — 2) 3 berörings- 

 »punkterna emellan denna j<ta och sammansatta polarerna för tre liniepar - - så 

 »beskaffade att de tre dessa par tillhörande linier, som ligga på E, gå genom samma 

 »punkt, och att de tre dessa par tillhörande linier, som ligga på E', äfven gå genom 

 »samma punkt - - ligga samtliga på en yta af ordningen 2(m — 2).» 



28. I enlighet härmed tangerar andra polaren för en rät linie ab i 4(m — 2)' j 

 punkter sammansatta polaren för två planer E, E som skära hvarandra i ab. Samman- 

 satta polarerna J ah , ab , J ai , a!l och J ah . uc — der c är en godtycklig punkt på E samt y en 

 godtycklig punkt på E' — skära hvarandra enligt (20 och 9 a) i de nämda berörings- 

 punkterna. Draga vi planet acy och kalla dess skärningslinier med två andra planer 

 E t , E\, gående genom ab, för ac',ay, så äro beröringspunkterna emellan J„ h , ab och sam- 

 mansatta polaren T Ey , E< skärningspunkter emellan J a i, a h,Jai.mi och J ah , m -. Emedan åter 

 ac, ay, ac, ay ligga i samma plan och gå genom samma punkt, så är skärningskurvan 

 emellan J ait ac , J ai< ay identisk med skärningskurvan emellan J al _ ac . och Ja% a) /, (20); af denna 

 kurvas skärningspunkter med J, a ,.ai ligga enligt föregående artikel 4(m — 2) 3 på Pl och 

 andra 4(m — 2) 3 äro beröringspunkter emellan J a1/ . a b med T EtE eller T EuE ^. Häraf följer: 



»Sammansatta polarytorna för planpar, hvilka alla hafva samma skärnings- eller 

 . »dubbellinie, tangera denna linies andra polaryta i de samma 4(ra — 2) 3 punkterna.» 



29. När E, E' sammanfalla, då (21) sammansatta polarerna J aXttty bilda ett nät 

 och då sålunda beröringspunkterna (27) emellan T E ^ E och dessa sammansatta polarer, 

 emedan de tillika skola vara skärningspunkter emellan tre af dessa sednare, måste vara 

 oförändradt desamma för alla polarerna; följer att: 



»Andra polaren för ett plan har 4(m — 2) 3 dubbelpunkter» 1 ). — Vi se lätt att 

 dubbelpunkternas qvadratiska polarytor äro käglor som tangera planet. 



Dubbelpunkterna på T KE äro 4(m — 2) 3 af basispunkterna till det i (21) betrak- 

 tade nätet J ax>av . Emedan ytorna i detta nät äro af 2(m — 2):dra ordningen, måste det 

 besitta ännu 4(m — 2) 3 andra basispunkter. Dessa punkter äro de (m — 2) 3 berörings- 

 punkterna (25) emellan Pl och j^torna i nätet; de gälla för 4(m — 2) 3 skärningspunkter, 

 emedan en tangeringspunkt emellan tre ytor är eqvivalent med fyra af deras skärnings- 

 punkter. 



Vidare följer af (Ha, b), (21): 

 »Sammansatta polaren för två räta linier R, E' i planet E skär andra polaren 

 »för E i tvenne kurvor af ordningen 3(m — 2) 2 ; längs dessa kurvor tangeras ytan 

 »af andra polarerna J IUB och Js yS 2 ).» 



! ) Ckemona : Gnmdziige etc. o. c. ställe. 

 2 ) Cremona: Grundziige etc. o. c. st. 



