OM GEOMETRISKA YTOR, 23 



Om ab, ac äro de två linier som från en punkt a i E kunna dragas såsom tan- 

 genter till skärningskurvan emellan E och qvadratiska polarytan för p, så äro J ah , ab och 

 J„c, ac de två ytor i nätet J ax , a!/ , hvilka genom p kunna dragas tangerande T E , E och Pl; 

 deras fyra beröringskurvor med dessa ytor ligga på ytan J& tae . 



30. Af hvad i (28) är bevisadt följer, att af det i (22) betraktade nätets basis- 

 punkter 16(ra — 2) 3 ligga på andra polaren för R. Dessa punkter äro ej dubbelpunk- 

 ter på andra polaren ej heller på Hesses yta, men de ligga på dessa båda ytors skär- 

 ningskurva, och i denna mening blifva de dubbelpunkter för komplexen af Hesses yta 

 med Jr, b . De öfriga ll(m — 2) 3 basispunkterna i nätet äro (8 c) dubbelpunkter på 

 Hesses yta eller på J s ,s; antalet af dessa sednare är (26) lika med (m — 2) 3 och deraf 

 följer: 



»Hesses yta har 10(m — 2) 3 dubbelpunkter.» Dubbelpunkternas qvadratiska po- 

 larytor hafva två dubbelpunkter och äro sålunda planpar. 

 Vidare af (8 a, b) och (22): 

 »Sammansatta polaren för två planer E, E' skär Hesses yta i två kurvor af ordnin- 

 »gen 6(m — 2) 2 , längs hvilka densamma tangeras af andra polarerna för E och för E' ').» 

 Om A, B äro tangentplaner genom en rät linie R till qvadratiska polarytan för 

 . p, så äro andra polarerna för A och för B de två ytor i nätet T x , r, som genom p 

 kunna dragas tangerande Hesses yta och J BiB \ deras fyra beröringskurvor med dessa 

 ytor ligga på sammansatta polaren T A>B . 



31. Af geometriska betydelsen för en dubbelpunkt till andra polaren för en rät 

 linie eller ett plan (26, 29) framgår, att: »Andra polaren för ett plan innehåller dubbel- 



»punkterna till andra polarerna för linierna i planet; Hesses yta innehåller dubbel- 

 »punkterna till alla andra polarer för planerna i rymden.» 



§ III. Om punkters polarplaner i af seende på de i föregående § af handlade .ytorna. 



32. Lemiua. »Polarplanet för en punkt p, hvilken som heldst, i afseende på samman- 

 »satta polaren, respektive C m , för tvenne punkter a, b, är sjelf sammansatt polar 

 »för de samma punkterna i afseende på kubiska polaren för p respektive C,„». 

 Ty enligt ett theorem af Plucker 2 ) är 



Di» — 3 p p p»i — :) pl pi p pl p»-3 pl /tt pl pl p»i-ä p p pm — i p 



hvarigenom förevarande sats är bevisad. 



33. Af (18) och (12) härleder man: 

 »Om a, å äro tvenne godtyckligt tagna punkter på en rät linie R, samt skärnings- 

 »punkterna emellan en andra rät linie R' och polarplanerna för a, a, i afseende på qva- 

 »dratiska polaren för en arbiträr punkt p i rymden, äro b, b' respektive; så är polarplanet 

 »för p i afseende på sammansatta polaren för R, R polarplan för p i afseende på kom- 

 »plexen äf samma punkts polarplaner respektive sammansatta polarerna P a v och P a 'b- ) '> 



') Denna och fdreg. sats finnes hos Cremona: Gvundziige etc. o. c. st. 

 2 1 Cremona : Einleitung etc, s. 101, Lehrsats. IV. 



