26 A. V. BÄCKLUND, 



Koroll. Af definitionen (21) på andra polaren för E följer att dess skärningskurva med 

 detta plan är Hesses kurva för samma plans skärning c m med ytan C m . 



Om p är en punkt på c m samt o ligger på tangenten till c m i p, och p' är den 

 andra skärningspunkten emellan qvadratiska polaren för p respektive c m och dess räta 

 polarlinie för o, så är P pp ; respektive kubiska polaren för p, räta linien op. För en- 

 kelhetens skull antaga vi o vara den tredje skärningspunkten, utom p, mellan tangen- 

 ten till c m i p och kubiska polaren för p; af den föregående allmänna satsen följer då: 

 »Räta polaidinien för en punkt p på en plan kurva c„„ i afseende på Hesses kurva 

 »för c m , går genom den punkt o, i hvilken tangenten till c m i p, utom denna punkt 

 »träffar kubiska polaren för p respektive c m . Om SI är tangenten i o till denna 

 »sednare polar och A är den ena, op den andra, tangenten från o till qvadratiska 

 »polaren för p; samt oj, a, % äro skärningspunkterna mellan en transversal genom p 

 »med il, A och räta polarlinien för p i afseende på Hesses kurva: så är: 



_ = — + — . » 

 pso pui p a 



Af första delen i denna sats framgår, då c m är af tredje ordningen, följande sats: 

 »Om en rät linie tangerar en kurva af tredje ordningen i p och skär den i o, 

 »så gå räta polarlinierna för p, i afseende på alla med den gifna kurvan sycige- 

 »tiska kurvor, genom punkten o ').» 



T}' de med c 3 sycigetiska kurvorna bilda en knippa, hvars basispunkter äro skär- 

 ningspunkter emellan c 3 och Hesses kurva för c 3 ; vidnre gå polarlinierna för en punkt 

 respektive kurvorna i en knippa alla genom en och samma punkt. 



37. Af (13) och (30) följer att, om A, A äro tangentplaner genom en rät linie 

 B till qvadratiska polarytan för en arbiträr punkt p, polarplanet för p i afseende på 

 komplexen af andra polaren för R och Hesses yta för C m är just polarplan för samma 

 punkt i afseende på T A , A : 



Om b, b' äro skärningspunkterna emellan R och qvadratiska polarytan för p ; a, a 

 denna ytas beröringspunkter med A, Ä och re, [i äro skärningspunkterna emellan en 

 godtycklig transversal genom p samt P aU ' och Pw, hänförda till kubiska polarytan för 

 p; och slutligen h är transversalens skärningspunkt med polarplanet för p respektive 

 Hesses yta: så följer af det här förstnämda samt af (34,35): 



v P P a \p « p pi ' 

 ä. 



A + A = 2 (i-+A) 



PI3 ph \pu ppl 



ph p a p jS 



Hvilket bevisar: 



»Polarplanet för en arbiträr punkt p i afseende på Hesses yta för C m är polar- 

 »plan för samma punkt i afseende på komplexen af följande två planer: samman- 

 »satta polaren för skärningspunkterna emellan qvadratiska polarytan för p med en 

 »godtycklig rät linie, och sammansatta polaren för skärningspunkterna emellan 

 »samma polaryta med den sistnämda liniens reciproka polar i afseende på denna 



J ) Cbjesiona: Einleitung etc, s. 247. 



