OM GEOMETRISKA YTOR. 27 



»yta; — båcla dessa sammansatta polarer hänförda till kubiska polarytan för p 

 »respektive 6',,,.» 

 Koroll. Om p ligger på C m och i denna ytas tangentplan för p väljes en rät linie R, 

 så går dess reciproka polar, i afseende på qvadratiska polarytan för p, genom p och 

 skär denna sednare yta i en andra punkt a. Sammansatta polaren P pa . i afseende på 

 kubiska polaren för p är sålunda tangentplanet i a till qvadratiska polaren för p och 

 derföre just planet a'R. 



Tangentplanet i p till C m skär kubiska polaren för p i en kurva c s af tredje ord- 

 ningen med tvenne grenar genom p, tangerade i denna punkt af ytans inflexionstan- 

 genter i p; dessa inflexionstangenter bilda sektionen emellan tangentplanet i p och 

 qvadratiska polaren för samma punkt, och deras skärningspunkter med R kalla vi b, b'. 



Skärningslinien emellan det betraktade tangentplanet och P 5S ., i afseende på kubi- 

 ska polaren för p, bestämmes på följande sätt. Då pb, pb' äro två sidor i en sycigetisk 

 triangel för c 3 , och dess tredje sida är sammanbindningslinien emellan denna kurvas 

 tre inflexionspunkter, så äro skärningspunkterna c, c emellan denna sista sida och pb, 

 pb' , poler i afseende på c s till pb' , pb respektive v ). Alltså går första polaren för b re- 

 spektive c 3 genom c och p, och derföre skär P vt räta linien pb' i en punkt cl', konju- 

 gatharmonisk till b' i afseende på p, c. På samma sätt framgår att P w måste skära 

 pb i en punkt cl, konjugatharmonisk till b i afseende på p, c. Häraf följer att P w i 

 afseende på kubiska polaren för p skär tangentplanet pR i en rät linie del, konjugat- 

 harmonisk till bb' i afseende på cc och en linie genom p. 



Polarplanet för p i afseende på komplexen P aa . . P 55 . skär sålunda planet pR i räta 

 linien cc. 



Häraf och af föregående sats framgår följande af Clebsch 2 ) framställda theorem: 



*) Cremona i Einleitung etc, ss. 233, 234, bevisar denua sats för en kurva af tredje ordningen som saknar 

 dubbelpunkter och spetsar. Har c 3 en dubbelpunkt gäller icke längre detta bevis. På följande sätt fram- 

 går åter då den ifrågavarande satsen. Emedan c är en dubbelpuukt för en kurva (nemligen den sycige- 

 tiska triangeln) i den knippa, som bestämmes af c 3 och Hesses kurva för densamma, så måste dess räta 

 räta polarlinie respektive dessa båda kurvor vara densamma. Dess polar respektive Hesses kurva bestäm- 

 mes enligt (36) (hvarest vi nu låta p och o sammanfalla med c) på följande sätt: Qvadratiska polaren för 

 c går genom p och tangerar derstädes pc, till följe hvaraf polaren för c i afseende på densamma, hvilken 

 just är Pl, går genom p; den sammansatta polaren P pa ' — om a är den andra skärningspunkten emellan 

 Pl och den förra qvadratiska polaren — är sålunda en rät linie B' konjugatharmonisk till Pl i afseende 

 på linieparet pb, pb' . Kalla vi då skärningspunkterna emellan en transversal genom c med Pl, B' för tu, a 

 respektive, så är transversalens skärningspunkt x med den ifrågavarande polaren för c respektive Hesses 

 kurva bestämd genom equationen: 



A = ! ! 



CX GOJ Cu 



2 2 2 



Emedan åter, enlisrt hvad först är nämdt, x måste sammanfalla med to, så följer att — = — = — i 



J ex cio cc. 



att sålunda to och a måste sammanfalla med hvarandra. Detta- kan åter ej inträffa med mindre att to 

 antingen är punkten c eller ligger på pb' . Men punkten c kan den icke vara, ty i detta fall skulle dess 

 polarlinie Pl respektive c 3 sjelf gå genom c och derföre c ligga på r 3 ; — hvilket åter icke är förhållan- 

 det. Punkten to måste sålunda ligga på pb' och derföre denna räta linie vara Pl, rät polarlinie för c 

 respektive c s . På samma sätt framgår att pb är rät polarlinie för c i afseende på c 3 . 

 2 ) Zur Theorie der algebraischen Flächen: Crelles Journal, Bd 63, s. 18. 



