OM GEOMETRISKA YTOR. 29 



Enligt följande sats om homogena funktioner: 



09 ^•^ + "- ),/= i-« 1 8^;«-r) -( g --li + •••■)■-■/ 



finner man högra membrum i equationen (1) vara inverterade värdet af högra mem- 

 bran! i equationen (2). Alltså erhåller man: 



Ay . Ay' . . . Ay x .Ay,'... Ba . Ba ' . . . . Ba, . Ba,'. . . Cft . Oft'. . . gft . C\'... _ . 

 By .By'. ..By^ .By,.... ' Ca. Ca'... Ca, . Ca,'... ' A?:A?'...Ap l . A?,'... ~ 



Denna eqvation bevisar enligt Carnots bekanta theorem, att de 3m punkterna, 

 (<x),(fi)>(y) ligga på en yta af ra:te ordningen. D. v. s. 



»Om en geometrisk yta af m:te ordningen är gifven, en triangel samt r:te och 

 »m — ?':te polarerna, i afseende på ytan, för triangelns hörn såsom poler; såskäras 

 »triangelns sidor af polarerna för de motstående hörnen i 3m punkter, hvilka ligga 

 »på en kurva 1 ) af m:te ordningen.» 

 Det följande theoremet kan bevisas antingen på samma sätt som det nu gifna 

 eller af detta medelst satsen : »Om en plan kurva af 3m:te ordningen (komplexen af skär- 

 ningarne emellan triangelns plan och de sex polarerna) samt en kurva af tredje ord- 

 ningen (den gifna triangeln) skära hvarandra i 3m punkter på en kurva af m:te ordnin- 

 gen, så skära de hvarandra i 6m andra punkter på en kurva af 2m:te ordningen;» — 

 en specialisering af ett theorem af Cayley. 



»De r:te och m — r:te polarerna, i afseende på en yta af m:te ordningen, för 

 »en triangels hörn såsom poler skära polerna bredvidliggande sidor i 6m punkter 

 »som tillhöra en och samma kurva af 2m:te ordningen.» 

 Då den gifna ytan är af jemt gradtal, t. ex. m : =2n, erhålla, enligt eqvationerna 

 (l) och (3), dessa satser följande uttryck för r = n: 



»De n:te polarytorna i afseende på en yta af 2n:te ordningen för en triangels 

 »hörn såsom poler skära de motstående sidorna i 3n punkter, tillhörande en kurva 

 »af n:te ordningen ;» 



»dessa polarer skära åter de bredvidliggande sidorna i triangeln i 6n punkter, 

 »som tillhöra en kurva af 2n:te ordningen.» 

 39. Den första af de här angifna satserna bevisar att: 

 »Om en geometrisk yta af m:te ordningen -är gifven, och A, B, C, D äro hörnen 

 »till en tetraeder samt c:, /i, y, d äro skärningskurvorna emellan dess sidoplaner BCD, 

 »CDA, etc. med r:te och m — ?':te polarerna för motstående hörn A, B, etc; så 

 »innehåller hvarje sidoplan BCD en kurva af m:te ordningen som träffar, utom 

 »kurvan ci, h vardera af kurvorna Å y, å i m punkter;» 

 den andra satsen bevisar att: 

 »De r:te och m — r:te polarerna för tetraederns hörn skära de bredvidliggande 

 »sidokanterna i 12m punkter, tillhörande en yta 2 ) af 2m:te ordningen.» 

 Huru dessa satser skola uttryckas för ytor af jemt ordningstal = 2n, för det fall 

 att r~n, är klart af cle sista satserna i föregående artikel. 



x ) Ocli sålunda då ra >■ 3 på en oändlighet kurvor af samma ordning. 



2 ) Och dermed när ?)i>3 en oändlighet ytor. Detta samma tillägg gäller naturligen äfven de föregående satserna. 



