OM GEOMETRISKA YTOR. 31 



ytorna två knippor ytor af m — l:sta och m — l:sta ordningen respektive. Skärnings- 

 kurvan emellan samma punkt på L motsvarande ytor i dessa knippor genererar derföre 

 en yta af ordningen m -f- ra — 2, som går genom de båda knippornas basiskurvor, hvilka 

 äro polkurvor för L respektive C m och respektive C m : Erinra vi oss vidare att första 

 polaren för en gifven punkt är ort för de punkter, hvilkas polarplaner gå genom den 

 gifna punkten, så finna vi härmed följande sats bevisad: 



»Orten för de punkter, hvilkas polarplaner i afseende på två gifna ytor af ord- 

 »ningstalen ra, ni skära hvarandra i en rät linie träffande en gifven linie L, är en 

 »yta af ordningen m -4- m — 2, som går genom polkurvorna, respektive c!e gifna 

 »ytorna, för linien L x ).» 

 Vi beteckna dena yta i det följande med J L . — När C„„ (?,„■ äro första polarer för 

 tvenne punkter o, o' respektive en och samma tredje yta, så blir orten ~J L en samman- 

 satt polar för L och od (18). 



42. Af den angifna satsen sluta vi: 

 »Orten för de punkter, hvilkas polarplaner respektive C m , C m > skära hvarandra i 

 »rät linie liggande i ett gifvet plan, är en kurva af ordningen (m — l) 2 -)- (m — 1)"-|- 

 »(m — 1) (ni — 1).» 

 Denna kurva är tillsamman med skärningskurvan emellan första polarerna för en 

 punkt o i det gifna planet, respektive C„„ och €',„■, skärningskurva emellan två ytor J L , 

 Ju motsvarande två räta linier L, L\ som ligga i det gifna planet och som gå genom o. 

 Tydligt är att denna kurva innehåller polerna till planet (LL) respektive C m och 

 C m : - - Sålunda skares den af första pobaxen i afseende på C,„ för en goo^cklig punkt 

 % i detta plan som pol, utom i planets (ro — l) 3 poler respektive C m , i »(ro — 1) (ni — 1) X 

 X (m -f- ni — 2) punkter, hvilka då äro af den beskaffenheten att deras polarplaner re- 

 spektive C,„ och respektive C m > träffa planet {LL) i samma räta linie gående genom i.» 

 Densamma kurvan skares af ytan J L », när L" utmärker en arbiträr linie icke lig- 

 gande i det förra planet (LL'); l:o i de punkter, hvilkas polarplaner respektive C m C m > 

 äro desamma, såsom gående genom samma tre punkter på L, L, L"; 2:o i de punkter, 

 hvilkas polarplaner respektive C m , €„• träffa planet (LL) i samma linie gående genom 

 detta plans skärningspunkt med L". — Antalet af dessa sednare punkter hafva vi nyss 

 bestämt; de förra punkternas antal är sålunda (m — l) 3- ! - (in — 1) (m — 1) (m -f- m — 2) -|- 

 (m'- 1) ; . 



När m = m = n blifva dessa punkter dubbelpunkter för de ytor, som genom dem 

 dragas i den knippa, hvilken genom de båda gifna ytorna är bestämd. — Härmed är 

 då bevisadt, att »i en knippa ytor af n:te ordningen finnas i allmänhet 4(n — l) 3 ytor, 

 h vardera med en dubbelpunkt.» 

 Af (41) framgår vidare: 

 »Orten för de punkter, hvilkas polarplaner respektive tre ytor C„„ C m -, C m - skära 

 »hvarandra i samma punkt på en gifven rät linie, är en kurva af ordningen (ra — 1) X 

 »X (ni— 1) + (ro— 1) (m"— 1) + (ra"— 1) (ro — 1).» 



l ) De här förekommande satserna (41 — 43, 45 — 47, 50, 51) finner man på annat sätt, men äfvenledes rent 

 geometriskt, bevisade af Cremona i Grundziige etc., Zweiter Theil, Cap. V — VII. 



