32 A. V- BÄCKLUND, 



Denna kurva är den ena delen af skärningskurvan emellan två ytor J L , J L , som 

 båda motsvara samma räta linie L, men af hvilka den första är hänförd till C m , C m >; 

 den andra åter till C m ; C„ r . Skärningskurvans andra del är polkurvan för L i afse- 

 ende på C m >. 



43. Genom att betrakta ytan som är ort för skärningspunkterna emellan, samma 

 punkt på ett plan E motsvarande, ytor i de tre första polarnäten för punkterna på E, 

 i afseende på de tre ytorna C m , C,,,', C m ", härleder man att: 



»Orten för en punkt, som i afseende på tre ytor C m , C m >, C m », af ordningstalen 



»m, m, m" respektive, hafva polarplaner, skärande hvarandra i en punkt på ett gif- 



»vet plan E, är en yta af ordningen ra -f- m'-\- m"-~ 3, som går genom planets E 



»poler i afseende på de gifna ytorna.» 



Denna yta beteckna vi i det följande med T E . Dess skärningspunkter ined en 



arbiträr rät linie L kan man bestämma på följande sätt: En arbiträr punkt a på L 



bestämmer ett polarplan respektive C m , som skär E i en rät linie R, och ytan J E — 



respektive C m ; C m - — träffar L i m'-\- m" — 2 punkter b. Omvändt bestämmer en punkt 



b en skärningspunkt o emellan E och polarplanerna för b respektive C m - och C m -; första 



polaren för o i afseende på C m skär L i m — 1 punkter a. 



Om i är en fast punkt på L, består sålunda emellan afstånden ici, ib en equation, 

 som är af m--l:sta graden i afseende på la och af m'-\- m" — 2:dra graden i afseende 

 på ib; — en equation af följande form: 



(1) a . ia'"-\ ib m ' +m "-- + /? . ta m ~ 2 . tb m ' +,n "- 2 + ^=0, 



der a,P,...x äro oberoende af ta, ib. 



Häraf följer att på L finnas m -\- rn'-\- m" — 3 punkter, i hvilka en punkt a sam- 

 manfaller med en motsvarande punkt b, d. ä. punkter hvilkas polarplaner respektive 

 C m ,C m ;C m " gå genom samma punkt på E; deras afstånd ix från i äro rötterna till 

 equationen: 



(2) a . ^»+™w'-.. _|_ fö] _ u , m+M ' +m "-4 _^ Ä==0j 



som framgår af den föregående genom substitutionen za = ib = ix. — Dessa punkter x 

 tillhöra ytan T E . 



44. Deraf att en punkts polarplaner i afseende på de serskilda ytorna i en knippa 

 gå alla genom samma räta linie, följer att, om m'= m", ytorna J L och T E icke förän- 

 dras, när man i st. f. Cv, C„- betraktar två andra ytor, hvilka som heldst, i den knippa 

 som af de förra bestämmes. Vi skola nu om ytan T E , i afseende på C m och en knippa 

 ytor (C,„ C n ) af n:te ordningen samt ett plan E gående genom en skärningspunkt ^ emellan 

 C m och knippans basiskurva, bestämma dess beskaffenhet i närheten af i. 



a. Dessförinnan behöfva vi kännedom om en egenskap hos ytan J R , i afseende 

 på en knippa (C n , C'„) och en rät linie R gående genom en punkt i på knippans basis- 

 kurva. 



Utmärka vi med Cl den yta i knippan som i punkten i tangerar R, så finna vi 

 att polkurvan för R respektive C' n går genom i. Emedan vidare J E är genererad af 

 skärningskurvorna emellan samma punkt på R som pol motsvarande, ytor i första polar- 



