OM GEOMETRISKA YTOE. 33 



knipporna för punkterna på R respektive Cl och C' n , samt basiskurvan för den ena af 

 dessa knippor går genom i, så tangeras (9, a) ytan J R i punkten i af första polaren för 

 i respektive Cl; d. ä. J B tangerar ytan Cl i samma punkt och sålunda äfven linien B. 



b. Vi hafva nu C m samt en knippa (Cl, C' n ) gifna; L är en godtycklig transversal 

 genom en skärningspunkt i emellan knippans basiskurva och den första ytan, samt E 

 ett plan genom samma punkt i. Fästa vi vid punkterna a, b samma betydelse som i 

 (43), så finna vi först, att' punkten i betraktad såsom en punkt a bestämmer i sjelf så- 

 som en punkt b, att sålunda ytan T E går genom %., 



Om vidare t är tangent i i till kurvan (EC m ), så skär polarplanet för i, respek- 

 tive G m , planet E i räta linien t; ytan J t tangerar enligt föregående t i punkten i, och 

 punkten i betraktad så-om en punkt a motsvarar sålunda två med i sammanfallande 

 punkter b på t. Häraf följer att i equationen (1), tillämpad på t såsom transversal L, 

 såväl ^ som koefficienten för ib måste försvinna. 



Polarplanerna för i i afseende på Cl, C' n skära hvarandra och E i punkten i sjelf, 

 hvars första polar respektive C,„ i punkten i tangerar t; sålunda, punkten i, betraktad 

 såsom en punkt b, motsvarar två med i sammanfallande punkter a på räta linien t. 

 Då måste i equationen (1), för t såsom transversal L, äfven koefficienten för la vara borta. 

 Häraf följer att equationen (2), hänförd till t såsom transversal L, måste hafva 

 en faktor tx'; H vilket bevisar att: 



»Om man genom en skärningspunkt i emellan tre ytor C m , Cl, C n , af hvilka de 

 »två sednare äro af samma ordning, drager ett plan E huru som heldst, så skall 

 »ytan T E gå genom i och derstädes beröra tangenten till skärmngskurvan emellan 

 »E och C m .» 



c. Häraf följer genast att, om E vore ett tangentplan i punkten i till ytan C,„, 

 den ifrågavarande T E i samma punkt skulle tangera detta plan. 



Om t är en af inflexionstangenterna till C m i punkten i, så finna vi först, att 

 hvarje punkt b på t motsvarar alltid punkten i såsom en punkt a, emedan första pola- 

 rerna respektive C,„ för punkterna på E gå alla genom t,. Häraf följer att equationen 

 (1) måste, i detta fall, innehålla la såsom faktor, och att den andra faktorn skall vara: 

 (3) cc . ia m -~ . ib m ' +m "- 2 + å = 0. 



Equationen (2) blir sålunda nu: 

 (4) a . ix m+, "' +m "- i -\- é = 0. 



Den på t liggande nästgränsande punkten till i har ett polarplan respektive C„, 

 som träffar E i samma linie t; betraktad såsom en punkt a motsvarar den då enligt 

 (a) två med i sammanfallande punkter b på t; d. v. s. equationen (3) måste sakna ö 

 och termen ib. 



Punkten i betraktad såsom en punkt b motsvarar (43) tre med i sammanfallande 

 punkter a på t; d. v. s. equationen (3) måste äfven sakna termen ta. 



Dermed erhåller (4) en faktor ix 2 och sålunda finnas på t, differenta från i, en- 

 dast m -\- m'-\- m" — 6 (eller, emedan m'= m"= n, m -\- 2n — 6) punkter tillhörande T E . — 

 Denna yta har sålunda t såsom infJexionstangent i i. 



K. Vet. Akad. Handl. B. 9. N:o 1). 3 



