OM GEOMETRISKA YTOR. 35 



Om åter första polaren för en punkt p skall i en annan punkt o tangera funda- 

 mentalytan, så måste det gemensamma tangentplanet, såsom varande m — 2:dra polaren 

 för o i afseende på första polaren för p, vara polarplan för p i afseende på quadratiska 

 polaren för o, d. ä. emedan quadratiska polaren för o måste gå genom p (alldenstund 

 andra polaren för p går genom o), vara tangentplan i p till quadratiska polaren för o. 

 Men det är ock denna sednare ytas tangentplan i o. Sålunda måste quadratiska polaren 

 för o vara en kon med op såsom en generatrice; och dermed o vara en pnnkt på Hes- 

 ses yta för C m eller på den paraboliska kurvan till C m , samt op vara en stationär infle- 

 xionstangent till C, n i punkten o. 



De nämda tangeringspunkterna emellan C m och första polarerna för punkterna på 

 L äro sålunda de punkter på den paraboliska kurvan, hvilkas (stationära) infiexions- 

 tangenter till C, n träffa L. — Emedan nu de stationära inflexionstangenterna generera en 

 yta, hvars ordning utmärkes af det antal generatricer som träffa en arbiträr linie. så 

 erhålla vi af det förutbe visade följande sats: 



»Ordningen för den yta, som genereras af de stationära inflexionstangenterna 

 »till en yta af m:te ordningen, är 2m(m — 2) (3m — 4)» *). 



Koroll. 2. Om m = n, blir kurvan, som är ort för de punkter hvilkas polarplaner 

 respektive C n , Cl, C' n gå genom samma linie, äfven ort för de punkter, hvilka hafva 

 samma plan såsom polarplan respektive de serskilda ytorna till någon knippa i nätet 

 (C n , Cl, C„). Dermed slutligen: 



»Orten för dubbelpunkterna till ytor af n:te ordningen i ett geometriskt nät är 

 »en kurva af ordningen 6(n — 1)\» 



47. Om fyra ytor C m , C m ; C m -, C m >», af ordningstalen ra, m, m", m'" respektive, äro 

 gifna, så är orten för de punkter, i hvilka första polarer för samma punkt i rymden, 

 respektive de fyra ytorna, skära hvarandra, en yta af ordningen m -\- m'-\- rn"-\- m'"-- 4. - 

 Detta kan äfven uttryckas på följande sätt: 



»Orten för de punkter, hvilkas polarplaner respektive fyra gifna ytor €'„„ C m ; C m », 

 »C m - gå genom samma punkt, är en yta af ordningen m -j- m'-f-m"-4- m'"-- 4.» 



Denna yta är Jacobis yta för de fyra gifna ytorna (23). 



För att vidare studera densamma skola vi härleda den efter samma method, enligt 

 hvilken Hesses yta härleddes (22). — Vi observera då först att, om ett plan E vrider sig 

 kring en rät linie JR, bilda motsvarande T E (43), i afseende på C m , C m >, C m -, en knippa ytor. 

 Ty genom en arbiträr punkt går endast en bland dessa ytor; en i rymden godtyckligt 

 tagen punkt p bestämmer nemligen tre polarplaner, ett respektive hvardera ytan, hvilka 

 skära hvarandra i en punkt o, och planet genom o och R är det enda plari E, hvars 

 T E går genom p. Knippans basiskurva är för öfrigt förut (46) bestämd. 



Förstå vi med E, E', etc. planer genom R och betrakta tvenne knippor ytor {T E , 

 T E ) och {T' E , T' E ) — den första knippan hänförd till C m , 'C m -, C m «, den andra till C m , C m >, 

 C m - — , så finna vi att skärningskurvan emellan, samma läge af E motsvarande, ytor i 



l ) Analytische Geometrie des Raumes von G. Salmon, Deutsch bearbeitet von W. Fiedlek, Theil II. Leipzig 

 1865, s. 470. Vi underförstå tydligen att den gifna ytan skall sakna dubbelpunkter; detta gäller äfven i 

 det följande om C,„, utom der annat uttryckligen säges. 



