OM GEOMETRISKA YTOR. 37 



bilda en involution. Emedan J R , den ena delen af den nämda ytan, i punkten i tan- 

 gerar R, så måste ytans andra del, som är Jacobis yta för C m -, C„r, Cl, C' n , af planet SI 

 skäras i en kurva med % såsom en dubbelpunkt, hvars grenars tangenter bilda en in- 

 volution med inflexionstangenterna i samma punkt för de två första ytorna. 



Första delen af denna sats bevisar att Jacobis yta tangerar C m - i punkten i, att 

 sålunda dessa båda ytors skärningskurva har tvenne grenar genom i; den andra delen 

 framgår äfven af den följande närmare bestämningen om denna skärningskurva. 



Emedan C m -, C,„- tangera hvarandra i punkten i, har deras skärningskurva två 

 grenar genom denna punkt. Betrakta vi de fyra bågelementer på denna kurva som 

 stöta tillsamman i i, de två elementerna tillhörande den ena grenen, de två andra till- 

 hörande den andra grenen af kurvan; så framgår, genom samma betraktelser som i 

 observationen till föregående artikel, att Jacobis yta måste i punkten i hafva en verklig 

 beröring med hvardera af kurvans (C,„- C m -) grenar genom denna punkt. D. v. s. 



»Om tvenne ytor C m , C,„ : tangera hvarandra i en punkt i, och Cl, C' n äro två 

 »y.tor af samma ordning gående genom i; så skall Jacobis yta för dessa fyra ytor 

 »skära C,„ i en kurva som har två grenar genom i, tangerande derstädes de båda 

 »grenarne till kurvan (C m C',,).» 

 50. Vi upprepa här hvad redan förut (48 Obs.) är bevisadt att 

 »Jacobis yta för C m , C m ; Cl, C n skär kurvan (C m CJ) i dess beröringspunkter med 

 »ytor i knippan (Cl, C,,).» Tydligen innehåller denna yta dubbelpunkterna till ytorna 

 i knippan. 



Om i (47) m'= m"= m"'= n, finner man, att 

 »Jacobis yta för C m och ett nät af ytor skär C m i en kurva, som är ort för 

 »beröringspunkterna emellan C m och de ytor i nätet, hvilka tangera densamma.» 

 Ty den ifrågavarande Jacobis yta är enligt dess definition (47) ort för de punk- 

 ter, hvilkas polarplaner respektive C„, och någon knippa i nätet gå genom samma linie 

 (träffade en arbiträr linie), sålunda ock för de punkter, hvilkas polarplaner i afseende 

 på C,„ och någon yta i nätet äro desamma. - - Sjelfklart är att denna yta äfven inne- 

 håller dubbelpunkterna till ytorna i det gifna nätet. 

 Om i (47) m = iu = m"= m'"= n, se vi att 

 »Jacobis yta för fyra ytor af samma ordning är orten för en punkt, genom 

 »hvilken ett nät }^tor, tillhörande det af de fyra gifna ytorna bildade systemet, är 

 »bestämdt, hvars alla ytor i denna punkt tangera samma räta linie. - - Densamma 

 »ytan är ock orten för dubbelpunkterna till ytor i systemet.» 

 Då det af de fyra ytorna bildade systemet är ett första polarsystem respektive 

 C m , blir denna Jacobis yta identisk med Hesses yta för C m (23). 



Om p är en punkt på Hesses yta skola följaktligen första polarerna, respektive 

 C m , för punkterna på polarplanet för p, i afseende på C m , i punkten p tangera en och 

 samma linie; d. v. s. om a, b, c äro punkter i polarplanet, o dess skärningspunkt med 

 den nämda gemensamma tangenten och o' en annan arbiträr punkt på denna sednare, 

 så skola första polaren för o och första polaren för o' i afseende på första polaren för 

 o, samt första polaren för o i afseende på första polarerna för a, b, c gå genom p; d. ä. 

 första polarerna för a, b, c, o i afseende på första polaren för o skola gå genom p, och 



