38 A. V. BÄCKLUND, 



sålunda första polaren för o hafva en dubbelpunkt i p. Detta bevisar att »den gemen- 

 samma tangenten för ytorna i ett första polarnät i en punkt på Hesses yta går genom 

 polen till den första polar, som i denna punkt har en dubbelpunkt.» 



51. Tvenne Jacobis ytor, den ena i afseende på de (47) nämda ytorna, den 

 andra i afseende på C m , C m -, C m -, G m ™ skära hvarandra i en kurva, bestående: l:o af orten 

 för de punkter, hvilkas polarplaner respektive de fem ytorna C m , C m >, . . . C m ™ gå genom 

 samma punkt; 2:o af orten för de punkter, hvilkas polarplaner i afseende på C„„ C m -, C m - 

 gå genom samma räta linie. — Ordningen för den sednare orten är förut (46) bestämd 

 och dermed erhåller man efterföljande sats: 



»Orten för en punkt, hvars polarplaner i afseende på fem gifna ytor af ord- 

 »ningstalen m, ni, m",iri", ni" , gå genom samma punkt, är en kurva af ordningen: 



(m — 1) (m'+ m"-\- m'"+ m' y — 4) + (m — 1) (m"+ m'"-\- m IV — 3) + 

 (*«"— 1) (m'"+ m ,v — 2) + (m'"— 1) (m ,T — 1). » 



§ II. Om ytor i ett nät som hafva en stationär och en dubbel beröring 



med en gifven yta. 



52. Om en yta C,„ af nr.te ordningen och en knippa (C° n , C'„) af n:te ordningen 

 äro gifna, samt t n t,? äro skärningskurvor emellan C m och tvenne ytor T E , T E (43) re- 

 spektive C m , C° n , C n ; så äro skärningspunkterna emellan t e , t e ' enligt (46): (n — l)(n-\-2m — 3) 

 punkter, hvilkas polarplaner respektive C m , C°„ C n skära hvarandra i samma punkt på 

 linien (EE); samt vidare tangeringspunkterna emellan C m och ytor i knippan. 



Om sålunda kurvorna t e , £ e < skulle tangera hvarandra i en af de sistnämda punk- 

 terna, måste den yta i knippan (C,°, C n ), som dragés till denna punkt, derstädes i två 

 närbelägna punkter beröra C m , d. ä. hafva en stationär beröring med C m eller skära C m 

 i en kurva med en spets. 



Bestämningen af de stationära beröringspunkterna emellan C m och ytor i ett gifvet 

 nät kan då äfven uppfattas såsom bestämningen af tangeringspunkter emellan kurvor 

 t e , t e ' som båda motsvara samma knippa i nätet. 



Vi bevisa först att ytorna T E , som motsvara en yta C m och de serskilda knippor 

 i ett gifvet nät, hvilkas basiskurvor ligga pä en och samma yta C° i nätet, bilda en 

 knippa. - - En godtycklig punkt p bestämmer nemligen ett polarplan respektive C m och 

 ett respektive C'°, hvilka båda skära hvarandra och E i en punkt o; polarplanerna för 

 2> respektive ytorna i nätet gå alla genom samnia punkt ?, så att de ytor, hvilkas po- 

 larplaner för p gå genom o och sålunda genom to, bilda en knippa. Denna knippa är 

 den enda knippa i nätet, hvars basiskurva ligger på C° n och hvars motsvarande T E går 

 genom p. Emedan sålunda genom en arbiträr punkt endast en af på ofvan nämdt sätt 

 beskaffade T E kan dragas, måste dessa ytor bilda en knippa. 



Vi kunna ock uttrycka detta på följande sätt: kurvorna t e ,t! c ... och t e ; t' e -, . . . , 

 respektive C m och de serskilda knipporna i nätet med basiskurvorna på Cl, bilda två 

 knippor kurvor. Af det föregående se vi då att, samma knippa (C'°, C' n ) i nätet, mot- 

 svarande kurvor t e , t e < skära hvarandra i orten för de punkter på C m , hvilkas polarpla- 



