OM GEOMETRISKA YTOR. 39 



ner respektive C,„ och Cl träffa (EE) i samma punkt, och vidare i en kurva på C m , 

 som är ort för beröringspunkterna emellan denna yta och ytorna i det gifna nätet. — 

 Denna sednare kurva är enligt (50) skärningskurva emellan C m och Jacobis yta för C m 

 och det gifna nätet. Vi kalla denna Jacobis yta i det följande för /. 



Tangeringspunkter emellan två motsvarande kurvor t n t*, hvilka äro stationära 

 beröringspunkter emellan C m och ytor i det gifna nätet, äro sålunda äfven berörings- 

 punkter emellan (C m I) och kurvor i knippan (t e , t' e ). 



Om en del af basispunkterna till denna sednare knippa se vi genast att de ligo-a 

 på /. — Skärningspunkteima emellan / och en kurva t e , som motsvarar en knippa 

 (Cl, C„) i nätet, måste nemligen vara, utom tangeringspunkterna emellan C m och ytorna 

 i denna knippa, de punkter på C m , hvilkas polarplaner respektive denna yta och samt- 

 liga ytorna i nätet gå genom samma punkt på planet E; — punkter som enligt denna 

 deras beskaffenhet tillhöra samtliga t e ,t' e ... . 



Antalet af dessa sednare punkter är bestämdt (45) att vara 3m(n — 1) (m~\-n — 2) 

 och detta blir då antalet af de basispunkter till knippan (t e , t' e ) hvilka ligga på 1. 



Enligt (50) skola tangeringspunkterna emellan (C,„l) och kurvor i knippan {t,„ t',) 

 ligga Jacobis yta H för C m ,l samt knippan (T E , T E ). Bland skärningspunkterna emellan- 

 H och (C m l) äro ock, såsom vi skola visa, skärningspunkterna (C m C° n I)\ dessa punkter 

 såväl som de förut nämda basispunkterna till (t e , t',,), i Ii vilka H tangerar (C,„I) enligt 

 (48), äro tydligen främmande för frågan om de stationära beröringspunkterna. 



Om p är en skärningspunkt emellan C m , Cl, 1, bestämmer densamma en knippa i 

 nätet, hvars basiskurva ligger på Cl och som, enligt egenskapen hos (C m I), i punkten p 

 tangerar C,„. Om p är den p nästgränsande, för C m och för basiskurvan gemensamma, 

 punkten, samt ppa och ppb äro de två ytelementer på C m , hvilka stöta tillsamman i 

 linien pp, så är den yta i den ifrågavarande knippan, hvilken i p tangerar C m , ort för 

 två sammanfallande tangerade ytor i knippan, nemligen de två som äro bestämda att 

 gå, den- ena genom a och den andra genom b. Häraf följer, att den yta T E , som mot- 

 svarar denna knippa, skall skära (C m I) i två med p sammanfallande punkter, eller i p 

 och en närbelägen punkt. Motsvarande t e skall sålunda tangera (C m I) i punkten p, och 

 derföre förutnämda H gå genom p. 



Emedan T E är af ordningen m -\- 2n — ■ 3, 1 åter af ordningen m -\- Bn — 4, blir 

 H af ordningen m -)- 2(m ~\- 2n — 3) -f- m -\- 3n — 4 — 4 = 4m -\- In — 14. De, utom 

 skärningspunkterna (C m Cl I) samt de förutnämda basispunkterna till (t e , t'. e ) varande, 

 skärningspunkterna (C m I H) äro sålunda af ett antal: m(m -\~ Zn — 4) (4m -f- In — 14)- 

 6m(n — 1) (m -\- n — 2) -- mn(m -\- 2>n — 4). = 4m(m — 2) (m -\- 2>n — 4) -\- \2m(n — l) 2 ; 

 och dessa punkter äro enligt föregående stationära beröringspunkter emellan C m och 

 ytor i det gifna nätet. — Häraf följer: 



»I ett geometriskt nät ytor af n:te ordningen finnas i allmänhet 4m(m — 2) X 

 »X(?ra-|-3n — 4) -\- 12m(n — l) 2 ytor som hafva en stationär beröring med en 

 »gifven yta af m:te ordningen.» 



