40 A. V. BÄCKLUND, 



korall. 1. När m = 1 framgår häraf: 



»I ett nät kurvor af n:te ordningen, liggande i samma plan, finnas i allmänhet 

 »12(ra — 1) (n — 2) kurvor som besitta en spets 1 ).» 



koroll. 2. När n — 1 följer: »Enveloppen af de stationära tangentplanerna till en yta 

 »af irr.te ordningen är en developpabel }'ta af klassen 4m(m — 1) (m — 2).» 

 Beröringspunkterna med de stationära tangentplaner, som gå genom en gifven 

 punkt, äro skärningspunkterna emellan den paraboliska kurvan och första polaren för 

 den gifna punkten. 



koroll. 3. Om nätet (C°, C'„, C'„) är ett första polarnät i afseende på C m för punkterna 

 i ett plan såsom poler, så är kurvan (C„,I), respektive C m och detta nät, en 

 komplex af skärningen emellan C„ och det gifna planet samt en andra kurva 1', som 

 då blir af ordningen 4m(m — 2). 2 ) Ytan H respektive I' och knippan (t e , t' e ) blir af 

 ordningen m -\- 6m -- 10 -)- 4m — 8 — 4 = lim — 22. — Antalet af de basispunkter till 

 knippan (t n t' c ), som ligga på /', bestämmer man genom den iakttagelsen att skärnings- 

 punkterna emellan T och t e måste vara l:o tangeringspunkterna på T emellan C m och 

 en viss knippa i polarnätet; 2:o de ifrågavarande basispunterna. De första punkternas 

 antal är (46 Koroll. 1) 2m(m — 2) (Sm — 4); de ifrågavarande basispunkternas antal blir 

 sålunda 4m(m — 2) (3m — 5) — 2m(m — 2) (3m — 4) = 6m(m — 2)". 



Enligt hvad nu och förut i den närvarande artikeln blifvit nämdt, är antalet 

 stationära beröringspunkter emellan C„ och ytor i polarnätet lika med: 

 4m(m. — 2) (lim — 22) — 12m(m — 2) 2 — 4m(m — 1) (m—2) = 4m(m — 2) (7m — 15). 



Men om första polaren för en punkt p skall hafva en stationär beröring med C,„ 

 i någon annan punkt, så måste, enligt hvad förut (46 Koroll. T) är bevisadt, två succes- 

 siva stationära inflexionstangenter till C,„ träffa hvarandra i p. Häraf följer, att »orten 

 »för de stationära inflexionstangenterna till C m är en developpabel yta med en ku- 

 »spidalkurva af ordningen 4m(m — 2) (7m — 15)» 3 ). 

 Af första delen i denna sats följer att två successiva stationära inflexionstangen- 

 ter ligga i samma plan — ett stationärt tangentplan, och att sålunda »två successiva 

 stationära tangentplaner skära hvarandra i en stationär infiexionstangent.» Den förra 

 ytan blir härmed identisk med den af de stationära tangentplanerna envelopperade ytan. 

 53. Bestämma vi. punkterna i ett plan E att motsvara ytorna i det gifna nätet, 

 på samma sätt som punkter motsvara sina första polarer respektive en yta C M + 1 af 

 n -j- l:sta ordningen (4,5); så finna vi, att de punkter i E, hvilkas motsvarande ytor 

 i nätet tangera C,„ , bilda en kurva som är att betrakta såsom skärningskurva emellan 

 E och enveloppen af polarplanerna, i afseende på C n+1 , för punkterna på C m . 



På grund af hvad förut är nämdt om beskaffenheten hos kurvan (C,„ /), att tan- 

 geringspunkterna emellan C',„ och 3'torna i nätet ligga på denna kurva, är klart att den 

 förutnämda kurvan i E, hvilken vi det följande kalla E , äfven tillhör skärningskurvan 



J ) Ceemona: Einleitung etc, s. 193. 



2 ) Af 46 Koroll. 1 är klart att 7' är den paraboliska kurvan på C m . 



3 ) Salmon-Fiedlee: Anal. Geometrie etc, s. 506. 



