OM GEOMETRISKA YTOR. 41 



emellan detta plan samt den developpabla yta, hvilken envelopperas af polarplanerna 

 respektive C n+1 för punkterna på (C m I) såsom poler 1 ). — Om kurvan E„ sluta vi då 

 genast af det sistnämda, att de tangenter, som kunna dragas till densamma från en 

 gifven punkt o, äro planets E skärningslinier med polarplanerna respektive C n+i för 

 skärningspunkterna emellan (C m I) och den o motsvarande ytan i det gifna nätet; att 

 sålunda dess klass är mn(m -(- 2>n — 4). 



Dess ordningstal bestämmes af antalet dess skärningspunkter med en godtycklig 

 transversal i planet; d. v. s., då punkter på en rät linie motsvara ytor i samma knippa 

 i nätet, af antalet ytor i en gifven knippa som tangera C,„. Dermed blir (46) dess 

 ordning = m(m -4- n — 2) 3 -f- 2m(?i — l) 2 . 



Spetsaime på E äro skärningspunkter emellan polarplaner, respektive C n + 1 , för 

 tre succesiva punkter på (C,„ /) och sålunda punkter hvilkas motsvarande ytor i nätet 

 i två närbelägna punkter tangera, d. v. s. hafva en stationär beröring med C m ; antalet 

 af spetsarne är dermed i föregående artikel bestämdt. 



Sedan ordningen, klassen och spetsarnes antal för kurvan E äro gifna, följa af 

 Pluckers formler för de plana kurvorna de öfriga singulariteterna hos denna kurva. 

 Häraf antalet af dess dubbelpunkter, hvilka, emedan kurvan E i hvarje dylik punkt 

 här två differenta tangenter, motsvara ytor i nätet som i två skilda punkter tangera C„. 

 Deraf efterföljande sats: 



»I ett geometriskt nät ytor af n:te ordningen finnas i allmänhet 

 l m(m — 1) (ra— 2) {m iJ r Am 2 n — 5m 2 -f- lOmn 2 — 20mn + 1 \m + \2n 3 — 26ra 2 + 20n — 18) 

 -f \ m(m — 1) (n — 1) (9rc 3 — 3n 2 — n — 36) + § m(n — 1) (n — 2) (3rc 2 — 3?^ — 11) 



»ytor, hvardera i två skilda punkter tangerande en gifven yta af m:te ordningen.» 



Koroll. 1. För m = l följer häraf: 



»I ett nät kurvor af n:te ordningen liggande i samma plan finnas f (n — 1) X 

 »X (n — 2) (Sn 2 — 3n — 11) kurvor, som hvardera hafva två dubbelpunkter» 2 ). 



Koroll. 2. För n = l framgår: 



»Developpabla ytan, som evelopperas af dubbla tangentplanerna till en yta af 

 »?n:te ordningen, är af klassen J m(m — 1) (m — 2) (m 3 — m 2 -\- m — 12)» 3 ). 



Koroll. 3. Om n = m — 1 och det betraktade nätet är ett första polarnät respektive 

 C" M , så finner man om den hithörande kurvan E , att dess ordning är 2m(m — 2) X 

 X (3m — 4), att dess klass är 4m(ra — 1) {in — 2) och att antalet af dess spetsar är 

 4m(m — 2) (7m — 15) . [46. Koroll. 1, 52. Koroll. 2, 3]. Deraf följer antalet af dess dubbel- 

 punkter och sålunda följande sats: 



»Den af de stationära inflexionstangenterna till C m genererade developpabla ytan 

 »har en dubbelkurva af ordningen m{m — 2) (18m 4 — 84m 3 -\- 128m 2 — 111??j -f- 96)». 



') Den andra delen af den sednare skärningskurvan utgöres af de räta linier i E, hvilkas polkurvor, respek- 

 tive Cn + i, tangera kurvan (C m I). — Dermed följer deras antal af (58). 

 -) Cremona-. Einleitung etc, s. 192. 

 3 ) Salmon-Fiedler: Analytische Geometrie etc, s. 26. 



K. Vet. Akad. Handl. B. 0. N:o D. O 



