42 A. V. BÄCKLUND, 



54. Vi hafva i det föregående städse förutsatt C m sakna dubbelpunkter; vi an- 

 taga nu C' m hafva ä dubbelpunkter och skola söka bestämma deras inflytande på de i 

 föregående artikel behandlade satserna. 



Emedan dessa dubbelpunkter tillhöra samtliga t e ,t' e ... samt äfvenledes Jacobis 

 yta 1 för C' m och det gifna nätet, så mate på (C m I) finnas, utom de redan (52). betrak- 

 tade Sm(n — 1) (m -J- n — 2) punkterna, S punkter, hvilka äro basispunkter för alla 

 kurvorna i knippan (t e _, t' e ). 



Beskaffenheten af Jacobis yta H för knippan (T E , T E ), ytan C m och Jacobis yta 

 I framgår af (49): ytan går genom de å' dubbelpunkterna och dess skärningskurva med 

 C m har i hvardera af dessa punkter tvenne grenar som tangera grenarne i samma punk- 

 ter till kurvan (C m I). 



Häraf följer att de bland skärningspunkterna emellan H och (C m I) befintliga statio- 

 nära beröringspunkterna med ytor i nätet äro till antalet endast 4m(m — 2)(m-f-3n — 4)-f- 

 12m(n — l) 2 — 6£ 



Den hithörande kurvan E (53) har sålunda spetsar till detta antal; dess ordning- 

 ar, såsom inan lätt ser af (46), lika med m{m -\- n — 2) 3 -j- 2m(n — l) a — 2d\ och dess 

 klass är mn(m -J- on — 4). — Härmed är tillräckligt gifvet för bestämningen af kurvans 

 dubbelpunkter, d. ä. för antalet af de ytor i nätet, som hafva en dubbel beröring med 

 den gifna ytan C m . 



55. Om C m och ett system ytor af n:te ordningen äro gifna, så (51) finnas 

 2m(n — 1) (2m -\- Bn — 5) punkter på C' m , hvilkas polarplaner respektive C m och alla 

 ytorna i systemet gå genom samma punkt. Dermed har ock hvardera af dessa punk- 

 ter respektive C„ och ett visst nät ytor i systemet polarplaner gående genom en och 

 samma linie, som träffar en arbiträr linie; eller, respektive €',„ och en viss knippa ytor 

 i systemet, ett och samma plan såsom polarplan. Detta sednare bevisar att, om i är 

 en af dessa punkter, en knippa ytor i systemet finnes, hvars alla ytor tangera C m i 

 punkten i. 



Skärningskurvorna emellan C„ och ytorna i denna knippa hafva sålunda hvardera 

 två grenar genom i; de bilda tillsamman en knippa kurvor och tangentparen till deras 

 grenar i denna punkt bilda derföre en involution. De tvenne dubbelstrålarne till denna 

 involution bestämma i den nämda knippan två kurvor, som i punkten i hafva en spets. 

 Dessa kurvor äro skärningskurvor emellan C m och de ytor i den betraktade knippan, 

 hvilka med C m i punkten i hafva en stationär beröring (52). Häraf följer, att hvardera 

 af de nämda 2m(n — 1) (2m -4- 3n — 5) punkterna ^ bestämmer två ytor i ett gifvet 

 system ytor af n:te ordningen, hvilka hafva i denna punkt en stationär beröring med 

 C m ; och häraf vidare att »punkterna i äro dubbelpunkter på kurvan, som är ort för de 

 »stationära beröringspunkterna emellan C m och ytor i det gifna systemet.» 



56. Ordningen för denna sednare kurva är härefter lätt att bestämma. — Dess 

 skärningspunkter med en yta I, relative ett visst nät ytor i systemet, äro nemligen: 

 l:o de stationära beröringspunkterna emellan C m och ytor i det ifrågavarande, / mot- 

 svarande, nätet; 2:o de förutnämnda 2m(n — 1) (2m -(- 'ån — 5) punkterna i. Antalet af 

 de förra punkterna är bestämdt i (52); de sednare äro enligt föregående artikel dubbel- 



