OM GEOMETRISKA YTOR. 43 



punkter på den sökta kurvan. Om dess ordning utmärkes med v, blir sålunda v be- 

 stämd genom equationen: 



r(m. + 3n — 4) = 4m(m — 2) (m + Bn — 4) + 12m(ra — 1)'+ 4ro(n — 1) (2m + 3rc — 5) = 



= 4m(m -)- 2?j — 4) (m -f- 2>n — 4), 

 hvaraf v = 4m(m -)- In — 4); d. ä. 



»Orten för de stationära beröringspunkterna emellan C m ocb ytor af n:te ord- 

 »ningen i ett system är af ordningen 4m(m -f- 2n — 4).» 



57. Vi skola vidare om denna kurva bevisa, att »genom densamma en yta kan 

 läggas af ordningen 4(m -j- 2n — 4).» 



Betrakta vi ett system ytor af n:te ordningen och en knippa ytor (C° m , C m ) af m:te 

 ordningen, så finna vi att hvarje punkt p på basiskurvan {C° m C m ) bestämmer en knippa 

 ytor i sj^stemet, h vars samtliga ytor tangera denna kurva, och att basiskurvorna för 

 denna knippa och för (C" m , C' m ) ligga båda på ytan, som genereras af skärningskurvan 

 emellan två och två af de ytor i dessa båda knippor, hvilka i p tangera hvarandra, 

 samt vidare att denna sednare yta liar i p en trefaldig punkt. Häraf följer att i 

 den på ofvannämda sätt genom p bestämda knippan trenne ytor finnas, hvilka i p osku- 

 lera den sistnämda ytan; cl. ä. hafva stationär kontakt med motsvarande ytor i knippan 

 (C° fl"\ 



Detta bevisar att på orten för de stationära beröringspunkterna emellan ytorna i 

 en knippa (C",„ C' m ) och ytor i ett gifvet system är kurvan (C°„ C m ) en trefaldig kurva. 

 Emedan vidare denna ort skall skära hvarje yta i knippan t. ex. C°„ i en kurva af ord- 

 ningen 4m(m -\- 2n — 4) (enligt föreg. art.), så måste denna ort vara en yta af ordnin- 

 gen 7m-\-8n — 16. Att denna yta har kurvan (C„, C m ) såsom trefaldig kurva, vill 

 säga att densamma skär C m i en kurva af ordningen 3m 2 liggande på CJ„ tre gånger 

 räknad. Men om två ytor, af p:te och q:te ordningen respektive (p > q), skära hvar- 

 andra i en kurva af ordningen qr liggande på en yta af r:te ordningen (p > r), så måste 

 deras öfriga skärningskurva ligga på en yta af ordningen p — r. Alltså måste genom 

 den återstående skärningskurvan emellan den bestämda orten och ytan C°„ en yta kunna 

 läggas af ordningen Am -\- Sn — 1 6. H. S. B. 



§ III. Skärningskurvor emellan ytor i ett nät eller i ett system, som 



oskulera en gifven yta. 



58. Jacobis yta / för en yta C m och ett nät ytor (C°„ C' n , Cl) af n:te ordningen 

 träffar C,„ i en kurva, hvars punkter bestämma basiskurvor till knippor i nätet, som 

 hafva en dubbelpunkt eller som tangera C, n . Ytan / är af ordningen m -\- 8n — 4. 



Jacobis yta J t för I och det förra nätet ytor af n:te ordningen träffar / i två 

 kurvor: den ena en kurva (46) af ordningen Q(n — l) 2 , bestämmande kurvor i nätet 

 med dubbelpunkter; den andra en kurva, hvars punkter bestämma kurvor i nätet som 

 tangera 1. Denna yta I x är af ordningen ra -j- 6n — 8. 



Emedan till följe häraf skärningspunkterna emellan C„, och den sistnämda delen 

 af kurvan (lli) bestämma kurvor i nätet, hvilka tangera kurvan {C m I), och emedan de 



