46 A. V. BÄCKLUND, 



Vi känna att tangenten i en punkt p till skärningskurvan emellan C,„ och första 

 polaren för o är konjugatharmonisk till op i afseende på inflexionstangenterna i p. 

 Enligt hvad här förut är nämdt, bevisar denna omständighet den efterföljande satsen: 

 »Jacobis yta för C m och ett nät ytor, tillhörande ett gifvet system, skär C,„ i 

 »en kurva, hvars tangent i en arbiträr punkt p är konjugatharmonisk till tangen- 

 ten i samma punkt för basiskurvan till den knippa i nätet som går genom punk- 

 »ten p, i afseende på tangenterna i p till de kurvor i systemet, som i den nämda 

 »punkten oskulera C,».» 

 Häraf följer att, om p är en stationär beröringspunkt emellan C,„ med en yta i 

 systemet, samt (Cl, C'„, Cl) är ett nät, hvars basispunkter ligga på den kurva i systemet,' 

 som i p har en stationär beröring med C,„; att tangenten i p till sektionen emellan C,„ 

 och Jacobis yta för C m ,Cl,C' n ,Cl är fullkomligt obestämd och att sålunda denna skär- 

 ningskurva har en dubbelpunkt i p. Hvilket vi äfven kunna uttrycka på följande sätt: 

 »Om p är en punkt på orten (59) för de stationära beröringspunkterna emellan 

 »C, H och ytor i ett gifvet system, samt den kurva i systemet, som i p har en sta- 

 »tionär beröring med C m , träffar kurvan (Cl C„) i systemet i ?^ 3 punkter, och 

 »(C,°, C' n , Cl) är det nät som har dessa punkter såsom basispunkter: så skall Jacobis 

 »yta för C,„ och detta sednare nät i punkten p tangera C m .» 

 Af den i (52 Kor. 3) gifna satsen följer vidare: 

 »Två ytor af samma ordning, som i två successiva punkter på C„, hafva en 

 »stationär beröring med densamma, skära hvarandra i en kurva, som med densamma 

 »ytan äfvenledes har en stationär beröring.» 

 63. Vi framgå nu till fortsättning af (59). — Om i är Jacobis yta för nätet 

 (Cl, C n , C'l) samt ytan C m , om i, är Jacobis yta för samma nät samt ytan 7, och slut- 

 ligen I 2 är Jacobis yta för det förra nätet och ytan i x : så måste en gemensam punkt 

 för de fyra ytorna C,„, I, I, I 2 bestämma en kurva i nätet som antingen har en dubbel- 

 punkt eller med C m har en fyrpunktig beröring. Om nemligen p är en gemensam punkt 

 och icke bestämmer någon kurva med dubbelpunkt i p, bestämmer densamma, såsom 

 liggande på i, en kurva i nätet som med C„, har en beröring i p; samma punkt, så- 

 som liggande på I, bestämmer en kurva som i p äfvenledes tangerar i och derföre 

 oskulerar C m i p;~p slutligen, såsom liggande på I 2 , bestämmer en kurva som tangerar 

 Ii och derföre oskulerar i samt sålunda har med C m i p en fyrpunktig beröring. 



Vi hafva förut (59) visat att ytorna i, i afseende på C m och de serskilda näten 

 i ett system, hvilkas basispunkter ligga på en kurva (Cl Cl) bilda en knippa ytor, och 

 att ytorna I t , i afseende på dessa nät och motsvarande i, bilda en serie ytor af index 2. 

 Vi skola nu bestämma index för den serie ytor, som bildas af ytorna I 2 , Ii, ... respek- 

 tive samma nät och motsvarande ii, ii, ... . 



Polarplanerna för en godtycklig punkt p respektive Cl, Cl skära hvarandra i en 

 rät linie L; skärningspunkten a emellan L och polarplanet för p i afseende på en tredje 

 yta Cl i systemet beskrifver dermed en serie homografisk med de serskilda näten (Cl,C' n ,C'l). 

 Polarplanerna för p respektive motsvarande ytor ii, ii, ... bilda en serie af index 2 

 (äro tangentplaner till en kägla af andra ordningen). Om derföre b är ett dylikt polar- 

 plans skärningspunkt med L, så finna vi på denna linie två punktserier (a), (b) af den 



