OM GEOMETRISKA YTOR. 47 



beskaffenhet, att hvarje punkt a bestämmer en enda punkt b, då deremot en punkt b 

 bestämmer två punkter a. — Häraf följer att på L finnas tre lägen för sammanfallande 

 punkter a, b och att sålunda tre nät (C° n , C n , Cn) finnas, i afseende på hvilka I 2 gå genom 

 p; cl. ä. att serien 1%,!^, ... har en index lika med 3. 



Emedan I> är af ordningen m -j- dn — 12 och skärningskurvan mellan motsvarande 

 I, 1-2 till en del består af en kurva (46) af ordningen G(n — l) 2 , blir den af (Il 2 ) gene- 

 rerade ytan en komplex af Jacobis yta för systemet med en andra yta, som derföre 

 är af ordningen m -f- 9?^ — 12 -J- 3(m -f~ 3n — 4) — å(n — 1) = 4m -f- 14n — 20. Kom- 

 plexen går tre gånger genom (//') och den sednare ytan således tre gånger genom 

 kurvan (46,59) af ordningen (m-\-n — 2) 2 -\- 2(n — l) 2 samt två gånger genom kurvan 

 (51) af ordningen 2(n — 1) (2m -f- 3n — 5). 



Denna yta skär följaktligen den i (59) bestämda ytan — utom i de nämda delarne 

 af kurvan (II), respektive sex och två gånger räknade - — i en kurva <af ordningen 

 (3m + Sn — 12) (4m. -j- 14» — 20) — 6(m + n— 2) 2 — 12(n— l) 2 — 4(w— 1) (2m+3n— 5). 

 Dess skärningspunkter med C m äro, utom, såsom vi strax skola se, punkterna (C m Cn C' n ), 

 enligt föregående just de punkter, genom hvilka oskulerande kurvor (60) i systemet 

 äro bestämda, som i dessa punkter hafva en fyrpunktig beröring med C m . 



Beträffande punkterna (C m C n C' n ) bemärka vi följande. Om p är en af dessa punk- 

 ter och C'n är den yta i systemet som tangerar C m i p; så måste (49) ytan /, respektive 

 nätet (Cå, C n , C n ) som är bestämdt genom p>, tangera C m i p, och dess skärningskurva 

 med C m i denna punkt oskulera de båda grenarne till (C m C' n ); af samma grunder måste, 

 samma nät motsvarande, ytorna l u I_ skära C m i kurvor som hafva två grenar genom 

 p, oskulerande derstädes samma kurva (C m C,"). 



Häraf följer att den ofvannämda skärningskurvan emellan den i denna artikel och 

 i (59) bestämda ytan måste hafva två grenar genom p, i denna punkt oskulerande C m ; 

 och deraf vidare: 



»Det gifves i allmänhet m(3m -f- 8ra — 12) (4m -j- lån — 20) — Qm(m-\-n — 2) 2 — 

 »8m(n — 1) (in -f- 3n — 4) — 6mn 2 kurvor, tillhörande ett gifvet system ytor af ?z:te 

 »ordningen, hvilka träffa en gifven kurva i systemet och som med en yta af m:te 

 »ordningen hafva en fyrpunktig beröring.» 

 För n = 1 erhåller man häraf: 

 »En yta af m:te ordningen har i allmänhet 6m s — 22m 2 -f- 12m = 2m(m — 3) X 

 » X (3m — 2) tangenter, som träffa en gifven rät linie och som med ytan hafva en 

 »fyrpunktig beröring» x ). 



64. Två ytor, motsvarande en och samma kurva (C° n C'„) i systemet, äro i före- 

 gående artikel betraktade. Vi kalla för ögonblicket den i (59) bestämda ytan för A 

 och den i (63) bestämda för B; de ytor A, som motsvara kurvor (C n C' n ), liggande på 

 ytan C n och gående genom n 3 gifna punkter, bilda en serie ytor af index 2; de ytor 

 B, som motsvara samma kurvor (Cn C'„), bilda en serie af index 3. Vi bevisa detta på 

 följande sätt. 



x ) Salmon-Fiedlee: Anal. Geom., s. 486. 



