48 A. V. BÄCKLUND, 



Polarplanerna för en punkt p i afseende på ytorna i det nät i systemet, hvars 

 basispunkter äro de gifna n 3 punkterna på Cl, skära hvarandra i en punkt o på polar- 

 planet E, respektive Cl, för punkten p såsom pol. 



Polarplanerna för samma punkt, i afseende på C„ och ett nät (Cl, C' n , C'„) hvars 

 motsvarande I går genom p, skära hvarandra i en och samma punkt a på en rät linie 

 L gående genom o. Häraf följer att, när kurvan (Cl C n ) förändrar sitt läge på Cl efter 

 det angifna sättet, punkterna a beskrifva en rät linie R i planet E, ty på hvarje L 

 finnes endast en punkt a. 



Genom punkten p gå två ytor B,I[,... hvardera motsvarande ett nät med basis- 

 punkterna på (Cl C'„). Polarplanerna för p i afseende på dessa nät och motsvarande 1 

 gå genom två punkter b, b' respektive, liggande på L. Vi finna deraf att orten för 

 punkterna b, när (Cl C„) förändras på det angifna sättet, är en konisk sektion K i 

 planet E. 



Om man låter c, c', c" hafva samma betydelse respektive 1, som b, b' hafva respek- 

 tive Ii, så finner man orten för c, c, c" vara en kurva M af tredje ordningen. 



Skärningspunkterna (EK) bestämma två räta linier L och dermed två kurvor 

 (Cl C' n ) samt två par motsvarande ytor /, I 1} gående genom p. Skärningspunkter emellan 

 ett dylikt motsvarande par ytor äro åter punkter på A. Deraf följer att genom p gå 

 tvenne ytor A. 



Skärningspunkterna (RM) bestämma tre räta linier L och dermed tre motsva- 

 rande par 1, I>, gående genom p. Häraf följer att tre ytor B gå genom p. 



De, ett och samma läge af (Cl C' n ) motsvarande ytorna A, B skära hvarandra i 

 en kurva, som följaktligen, när (Cl C„) ändrar sitt läge på det angifna sättet, beskrifver 

 en yta af ordningen 2(4m + 14n — 20) + 3(3m -j- 8« — 12) = 17m + 4(13n — 19). 



Emedan åter denna yta skall (63) gå sex gånger genom ena delen af samma läge 

 för (Cl C n ) motsvarande kurvor (IB), så måste densamma innehålla ytan /, i afseende 

 på C m och det nät, hvars basispunkter äro de gifna n s punkterna, sex gånger. Den 

 andra beståndsdelen blir då af ordningen 17m -\- 4(l3n — 19) — Q(m -\- 3n — 4) = 

 lim -\- 3ån — 52; och går (63) genom kurvan (51) af ordningen 2(n — 1) (2m -\- 3n — 5). 



Af det sednast i (63) nämda följer att denna yta måste gå sex gånger genom 

 kurvan (Cl C m ) och sålunda dessutom skära C m i en kurva, genom hvilken en yta af 

 ordningen lim + 28ra — 52 = lim -\- 4(7?z — 13) skall kunna läggas. 



På grund af betydelsen hos punkterna (ABC m ) är härmed bevisadt, att 

 »Orten för de punkter på C m , genom hvilka oskulerande kurvor i ett system 

 »ytor af n:te ordningen äro bestämda, som i dessa punkter hafva en fyrpunktig be- 

 »röring med ytan C m , är en skärningskurva med en yta af ordningen lim -f- 4 (In — 13).» 



När n = 1 erhåller man häraf: 

 »Orten för de punkter på C m , i hvilka en inflexionstangent till denna yta har 

 »en fyrpunktig beröring med densamma, är en skärningskurva med en yta af ord- 

 »ningen lim — 24» 1 ). 



x ) Salmon-Piedler: Anal. Geom., s. 474. 



