OM GEOMETRISKA YTOR. 49 



§ IV. Ytor i ett system, som i tre på hvarandra följande punkter tangera en gifven yta. 



65. I artikeln 59 är bevisadt, att Jacobis ytor 1,1', etc. för C,„ och de nät i ett 

 gifvet system, hvilkas basispunkter ligga på en och samma kurva (C° C' n ), bilda en knippa 

 ytor. Af (56) följer, att en skärningspunkt emellan den derstädes afhandlade orten 

 — hvilken vi i det följande kalla K — och en yta I bestämmer en yta i systemet, som 

 tillhör det nät, hvilket motsvarar /, och som i två successiva punkter tano-erar C,„. 

 Dermed bestämmer en tangeringspunkt emellan / och K en yta i systemet, som i denna 

 punkt och två närbelägna punkter tangerar C m . 



Om med S utmärkes Jagobis yta för C m , knippan (1,1') och den yta som (57) 

 skär C m i kurvan K, så är S af ordningen l(m-\-2n — 4); densamma går genom de 

 ifrågavarande tangeringspunkterna emellan K och någon yta i knippan (I, T), en- 

 ligt andra satsen i (62) genom de i (61) bestämda 2m(m-\-2n — 4) (3m -f- 8n — 12) 

 - 2m(n — 1) (2m -f- Sn — 5) punkterna på K, och skär slutligen C m i en kurva, som har 

 två grenar genom hvardera af de i (55) nämda punkterna i — dubbelpunkter på K — 

 med sina grenar derstädes tangerande grenarne för K (49). 



De förstnämda tangeringspunkterna emellan K och någon yta i knippan (I, I') 

 äro sålunda af ett antal lika med 28m(m -f- 2n — 4) 2 — [2m(m-\-2n — 4)(3m-j-8rc — 12) 

 - 2m(n — 1) (2m + Sn — 5)] — 12m(ra — 1) (2m -f- Sn — 5) = 2m(m -+- 2n — 4) X 

 X (lim + 20» — 44) — 10m(n — 1) (2m -f Sn — 5). 

 Detta bevisar att 

 »I ett system ytor af n:te ordningen finnas i allmänhet 2m(m -f- 2n — 4) X 

 »X (lim -fr 20» — 44) — 10m(n — 1) (2m -f- Sn — 5) ytor, som i tre på hvarandra 

 »följande punkter tangera en gifven yta af m:te ordningen.» 



Koroll. För n = 1 erhåller man häraf att »antalet af de tangentplaner, hvilka i två på 

 »hvarandra följande punkter hafva en stationär beröring med C m , är 2m(m — 2) X 

 »X (lim — 24)» 1 )- 



66. Vi skola i denna artikel undersöka det inflytande, som dubbelpunkter till 

 ytan C m hafva på den föregående bestämningen. 



Om C m har å dubbelpunkter, förminskas icke derföre, såsom tydligt är af (57), 

 ordningstalet för den yta som skär C,„ i kurvan K. Men emedan hvarje dubbelpunkt 

 ingår såsom ort för sex stationära beröringspunkter med ytor i hvarje nät i systemet 

 (54), så måste ock K vara af den beskaffenheten, att den i (57) betraktade ytan genom 

 densamma skall hafva dubbelpunkterna på C„ såsom egna dubbelpunkter och att dub- 

 belpunternas tangentkäglor för dessa båda ytor skola sammanfalla. — I detta fall skares 



l ) Salmon-Fiedler : Anal. Geom., s. 506. — Såsom ett andra kriterium på den allmänna satsens sanning 

 uppställa vi dess uttryck för ?re=l,n = 3: »I ett system kurvor af tredje ordningen liggande i samma plan 

 »finnas 42 kurvor, bestående af en konisk sektion och en rät linie som tangerar densamma.» Vi konstatera 

 detta förhållande direkt för det fall, att kurvorna i systemet äro bestämda genom vilkoret att gå genom sex 

 arbiträra punkter: antalet af de koniska sektioner som gå genom fyra af dessa punkter, tangerande en rät 

 linie genom de två andra, är 2 X andra binomialkoefficienter för 6 = 30; antalet af de koniska sektioner som 

 gå genom fem punkter och tangera en rät iinie genom den sjette punkten är 2 X 6 = 12. 



K. Vet. Akad. Handl. B. 9. X:o 9. ' 



