50 A. V. BÄCKLUND, 



nemligen hvarje kurva (C m I) af ytan genom K i sex med hvarje dubbelpunkt samman- 

 fallande punkter. 



Sålunda har »kurvan K dubbelpunkterna på C m såsom sexfaldiga punkter», och 

 deraf följer, genom samma betraktelser som i (48 Obs. och 49) att skärningen emellan 

 C m och Jacobis yta S (föreg. art.) går sex gånger genom hvardera af de d dubbel- 

 punkterna och att denna skärningskurvas grenar derstädes tangera grenarne till K, att 

 sålunda hvarje dubbelpunkt är ort för 6X7 = 42 skärningspunkter dem emellan. 



Emedan vidare de (59) betraktade ytorna /, F etc. gå genom dubbelpunkterna på 

 C m , så måste ytan A (59) hafva dessa samma punkter såsom dubbelpunkter. De öfriga 

 skärningspunkterna emellan A och K äro derföre till antalet 4m(m -\- In — 4) X 

 X (3m + 8rc — 12) — 4m(n— l)(2m-f 3n — 5) — 12<? och de i slutet af (61) definie- 

 rade punkterna af halfva detta antal. — Af hvad här är nämdt följer, att »antalet af de 

 ytor i ett gifvet system ytor af n:te ordningen, h vilka i tre på hvarandra följande punk- 

 ter tangera en yta af m:te ordningen, som har 8 dubbelpunkter, är 2m(m -\- 2n — 4) X 

 X (lim + 20n — 44) — I0m(n — 1) (2m + Bn — 5) — 36 <?.» 



§ V. Om dubbelpunkter för ytor som tillhöra samma nät. 



67. Ett nät ytor {(%, C„, Cl) af n:te ordningen är gifvet. Tvenne ytor T E , 2V 

 — respektive detta nät och två planer E, E' - skära hvarandra i två kurvor (46): den 

 ena kurvan af ordningen 3(n — l) 3 , ort för de punkter, hvilkas polarplaner respektive 

 nätets ytor gå genom samma punkt på linien (EE'); den andra kurvan af ordningen 

 6(n — l) 2 , ort för de punkter, hvilkas polarplaner respektive nätets ytor gå genom 

 samma linie och dermed ort för dubbelpunkterna till ytor i nätet. — Den första af 

 dessa kurvor kalla vi A, clen andra kalla vi B. 



Om L är en godtycklig transversal, bilda ytorna J L , J L , ... (41), respektive de 

 knippor i nätet, hvilkas basiskurvor ligga på en och samma yta C° n , sjelfva en knippa. — 

 Skärningspunkterna emellan kurvan B och en yta J L , motsvarande en knippa (C° n , CA 

 äro: l:o dubbelpunkterna till ytorna i knippan; 2:o punkter, hvilkas polarplaner i af- 

 seende på samtliga ytor i nätet skära hvarandra i en rät linie som träffar L. De förra 

 punternas antal är (42) lika med 4(n — l) 3 ; antalet af de sednare punkterna är sålunda 

 8(ra — l) 3 och dessa ligga, enligt den nämda beskaffenheten hos dem, på basiskurvan 

 till knippan (J L , J',). 



Skärningspunkterna emellan A och B äro punkter, hvilka relative linien {EE'} 

 hafva samma beskaffenhet som de nyss under 2:o betraktade punkterna hafva relative L. 

 Dessa skärningspunkters antal är sålunda 8(n — l) 3 . 



Jacobis yta för J L , J' L , T E , T E , som är af ordningen 4(n — 1) + 6(n — 1) — 4 = 

 10n — 14, träffar (50) kurvan B: l:o i de nämda skärningspunkterna (AB), emedan 

 dessa punkter äro dubbelpunkter på den sammansatta kurvan A, B = (T E T E ); 2:o i de 

 8(n — 1)" punkter, som ligga på basiskurvan (J L J L ), på sätt som i (48) blifvit visadt; 

 3:o i tangeringspunkterna mellan B och ytor i knippan (J L , J' L ), bland hvilka, såsom 

 vi nu skola se, skärningspunkterna (BC" t ) äro inberäknade, 



