OM GEOMETRISKA YTOR. 51 



Är p en skärningspunkt mellan B och Cl, så måste ytorna i den knippa (C° n , C„) 

 i nätet, som är bestämd att gå genom p, samtliga tangera hvarandra i denna punkt. 

 Kalla vi F det gemensamma tangentplanet i p, och C™ är den yta som har denna punkt 

 såsom dubbelpunkt, så måste ytorna J L , J T/ , J r . — hvarest L, L , L" äro tre arbiträra 

 räta linier — gå genom p och derstädes tangera pollinien till F respektive tangentkäg- 

 lan för C„ i p, såsom man ser af det sätt, hvarpå J blifvit (41) genererad. Häraf följer 

 att två af skärningspunkterna mellan dessa sednare ytor sammanfalla med p och att 

 sålunda (42) denna punkt är att räkna såsom två dubbelpunkter till ytor i knippan 

 (Cl, C„). — Motsvarande yta J L måstå då enligt föregående skära B i två med p sam- 

 manfallande punkter och dermed tangera denna kurva i punkten p. 



Hvarje öfrig tangeringspunkt emellan B och ytor i knippan (J L , J L ) bestämmer 

 en yta i nätet, som har denna och närbelägna punkt på B såsom dubbelpunkter, cl. ä. 

 en yta som har en dubbelpunkt, hvars oskulerande tangentkägla blir ett planpar. 



Dessa tangeringspunkters antal är enligt det förut nämda: Q(n — 1) 2 (10?2 — 14) 

 - 8(w — l) 3 — 16(n — l) 3 — 6n(n — l) 2 = 30(n — l) 2 (n — 2); hvarmed följande sats är 

 bevisad: 



»I ett geometriskt nät ytor af n:te ordningen finnas i allmänhet 30(n — l) 2 (n — 2) 

 »ytor, hvardera med en dubbelpunkt, hvars oskulerande tangentkägla är ett planpar.» 



68. Betrakta vi det gifna nätets ytor såsom ett polarnät (5) respektive en yta 

 C 7! +i för punkterna i ett plan E såsom poler, och betrakta kurvan på detta plan, hvars 

 punkters första polarer hafva en dubbelpunkt, så finna vi denna kurvas tangenter vara 

 skärningslinier emellan E och polarplanerna respektive C n + i för punkterna på B såsom 

 poler. Dermed blir dess klass — Qn(n — l) 2 ; dess ordning är 4(n — 1) :! . Enligt förra 

 artikeln blir spetsarnes antal bestämdt att vara 30(n — l) 2 (n — 2) och genom Pluckers 

 formler härledes härefter antalet af dess dubbelpunkter. — Emedan hvarje dubbelpunkt 

 motsvarar (såsom pol) en yta i nätet med två dubbelpunkter, följer häraf: 



»I ett geometriskt nät ytor af n:te ordningen finnas i allmänhet 2(n — l) 2 (n — 2) X 

 » X (4n 3 - - 8ra 2 -\- Sn — 25) ytor, hvardera med två dubbelpunkter.» 



Kapitel V. Bestämning af singulariteterna hos en ytas sista polar 

 i afseende på en gifven andra yta. — Steiners yta. 



§ I. Allmänna satser om en ytas singulariteter. 



69. Vi antaga C vara en yta af ordningen p, besittande en dubbelkurva af ord- 

 ningen ju och en kuspidalkurva af ordningen r; att a är ordningen af beröringskurvan 

 för en verklig tangentkägla till C och att denna kägla har x stationära generatricer; 

 att ytan C har r trefaldiga punkter, hvilka, då hvarje trefaldig punkt är att betrakta 

 såsom ort för tre dubbelpunkter, tillika äro trefaldiga punkter på dubbelkurvan; art- 

 antalet af de oskulerande tangentplaner till C, hvilka gå genom en arbiträr punkt o och 

 hafva sina beröringspunkter på dubbelkurvan, är Q, och att antalet af de oskulerande tan- 

 gentplaner till C, hvilka gå genom o och hafva sina beröringspunkter på kuspidalkurvan, 

 är o; slutligen att dubbelkurvan har [i stationära punkter och kuspidalkurvan / dylika. 



