52 A. V. BÄCKLUND, 



70. Om a är beröringspunkten mellan C och en stationär generatrice till verk- 

 liga tangentkäglan från o, så tangerar första polaren för o, respektive C, räta linien oa 

 i punkter a och »andra polarytan för o, respektive C, går dermed genom a.» 



71. Om 6 är en skärningspunkt emellan dubbelkurvan och beröringskurvan («) 

 till tangentkäglan från o, så har C i denna punkt två differenta oskulerande tangent- 

 planer, af hvilka det ena går genom o. Räta linien ob oskulerar dermed C i punkten 

 b] och derföre: »andra polarytan för o, i afseende på C, går genom 6.» 



72. I hvarje punkt på kuspidalkurvan har ytan C två oändligt nära belägna 

 oskulerande tangentplaner. Bilda vi den korrelativa figuren till C och kalla densamma 

 C", så se vi att en punkt i på C med två närbelägna tangentplaner motsvarar ett tan- 

 gentplan till C med två närbelägna beröringspunkter, d. ä. ett stationärt tangentplan 

 till C". Orten för punkterna i, som är kuspidalkurvan på C, motsvarar sålunda den 

 developpabla ytan, som genereras af de stationära tangentplanerna till C. (Denna sed- 

 nare yta är afhandlad i Korollarier till 46, 52, 53). 



Om A är det plan i den korrelativa figuren som motsvarar punkten o i den 

 första figuren, så motsvaras beröringskurvan (et) för tangentkäglan från o till C af den 

 developpabla yta, som genereras af tangentplanerna till C i punkterna på denna ytas 

 skärning med planet A. 



Denna sednare yta kan äfven definieras såsom ort för de punkter, hvilkas första 

 polarer, respektive C, tangera kurvan (AC). — Om nu c är en skärningspunkt emellan 

 A och den paraboliska kurvan på C", så måste, alldenstund (46 Koroll. T) första pola- 

 rerna för punkterna på en stationär inflexionstangent tangera C" i dess beröringspunkt 

 ined denna tangent, den stationära inflexionstangenten till C i punkten c vara en ge- 

 neratrice för den developpabla yta som motsvarar («). Tangentplanet till denna yta 

 längs den nämda generatricen är ytans stationära tangentplan i c. Detta samma plan 

 är åter längs den nämda stationära inflexionstangenten tangentplan till den develop- 

 pabla yta som motsvarar kuspidalkurvan på C; hvaraf följer att de båda betraktade 

 developpabla ytorna tangera hvarandra längs den stationära tangenten i c. 



Detta bevisar om den ursprungliga figuren, att »beröringskurvan till tangentkäg- 

 »lan från o måste tangera kuspidalkurvan i alla de punkter, i hvilka den träffar 

 »densamma.» 



73. Om e är en punkt på den paraboliska kurvan för C", samt E är ytans tan- 

 gentplan i denna punkt och t den stationära inflexionstangenten derstädes, så kunna vi 

 om tangentkäglan till C" från punkten e göra följande bestämningar. 



De tangentplaner som från en godtycklig punkt p kunna dragas till denna kägla 

 äro tangentplanerna till C" i skärningspunkterna emellan denna yta, dess första polar 

 för p och första polar för e. - - Emedan första polaren för e skares af E i en kurva, 

 som, liksom kurvan (EC), har en spets i e med t såsom återvändstangent, samt första 

 polaren för en godtycklig punkt p i E går genom e och derstädes tangerar t; så skära 

 dessa båda första polarer hvarandra i tre, med e sammanfallande punkter, liggande på 

 (EC). Detta bevisar att »planet E är ett trefaldigt tangentplan till den ifrågavarande 

 »tangentkäglan.» 



