OM GEOMETRISKA YTOR. 53 



Första polarerna för punkterna på t äro de enda första polarer, som skära E i 

 kurvor med e såsom dubbelpunkt; då ock de enda, hvilka skära första polaren för e i 

 fyra med denna punkt sammanfallande punkter, liggande på (EC). Tangenten t är 

 sålunda den enda linie, genom hvilken fyra med E sammanfallande tangentplaner till 

 käglan gå; d. ä. »tangenten t är ort för tre successiva generatricer till tangentkäglan.» 

 Återvända vi till den ursprungliga figuren C, så motsvaras enligt föregående ar- 

 tikel planet E i figuren C af en punkt c på kuspidalkurvan för C; punkten e af ett 

 oskulerande plan r till C i punkten c; tangentkäglan från e till C af skärningskurvan 

 mellan -T och C, samt slutligen den stationära tangenten t af tangenten i c till kuspi- 

 dalkurvan. Transformationen af de två förra satserna bevisar oss då, att »skärnings- 

 »kurvan emellan C och ett oskulerande tangentplan till denna yta i en punkt på 

 »kuspidalkurvan har tre grenar genom denna punkt, hvilka grenar derstädes tan- 

 »gera en och samma linie, kuspidalkurvan sjelf.» 



74. Om c är en skärningspunkt emellan kuspidalkurvan och beröringskurvan («) 

 till tangentkäglan från o, så går ett af de båda, oändligt nära hvarandra belägna, ytan 

 C i punkten c oskulerande tangentplanerna genom o. Kalla vi detta plan för -T, så 

 måste, då enligt föregående kurvan (JTC) har tre grenar genom c, derstädes tangerande 

 kuspidalkurvan, »andra polarytan för o, i afseende på C, gå genom c och derstädes 

 tangera kuspidalkurvan.» 



75. Häraf och af (72) följer vidare, att »andra polarytan för o, respektive C, i 

 punkten c tangerar beröringskurvan till tangentkäglan från o.» 



76. Om />' är en stationär punkt på dubbelkurvan, så har C i denna punkt tre 

 oskulerande tangentplaner A, B, B', af hvilka de två sednare ligga oändligt nära hvar- 

 andra. Emedan åter B, B' äro två successiva tangentplaner med samma beröringspunkt 

 (i, så måste denna punkt äfven tillhöra kuspidalkurvan; sålunda: »kuspidalkurvan går 

 genom de stationära punkterna på dubbelkurvan.» 



77. Hvarje plan genom [i skär tydligen C i en kurva med tre grenar genom 

 denna punkt, af hvilka de två tangera samma linie, hvilket bevisar att hvarje andra 

 polar respektive C går genom [i. Emedan vidare kubiska polarytan för /? respektive C 

 är komplexen af de tre planerna A, B, B samt B, B sammanfalla till ett plan A h så 

 är andra polaren för en godtycklig punkt o respektive P^~ s ett plan gående genom 

 linien (AA X ). Men P„'P^ 3 är detsamma som P£ _3 P„; d. ä. polarplan för ti i afseeude 

 på andra polaren för o respektive C. Då nu vidare A, A Y båda i /? tangera dubbel- 

 kurvan, så är linien (AAi) denna kurvas tangent i /?; och sålunda: »andra polaren för 

 o, respektive C, tangerar i punkten /? dubbelkurvan, och skär i samma punkt kuspidal- 

 kurvan.» 



Andra polaren för o skär sålunda dubbelkurvan, som har en spets i [i med (AAi) 

 såsom återvändstangent, i tre med (i sammanfallande punkter. 



78. Om y är en stationär punkt på kuspidalkurvan, så finnas tre successiva 

 tangentplaner till C med / såsom gemensam beröringspunkt. Aro A, A!, A" dessa tan- 

 gentplaner, så att A' är successiv till A, A" successiv till A; så tillhör punkten / äfven 

 dubbelkurvan, emedan ytan C har tvenne icke-successiva tangentplaner A, A" med denna 



